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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Avalie a integral:

int ln (1 + x^2) d x

Passo 1

Nós não sabemos integrar essa função da forma como está aí, mas a sua derivada é bem mais simples:

(d)/(d x) ln (1 + x^2) = (2 x)/(1 + x^2)

Nesse caso, podemos usar a integração por partes para “forçar” a derivada da função a aparecer na conta:

int u d v = u v - int v d u

Com as seguinte substituições:

{[[u = ln (1 + x^2)],[d v = d x]]) => {[[d u = (2 x)/(1 + x^2) d x],[v = x]])

Então:

I = int ln (1 + x^2) d x = x ln (1 + x^2) - int x (2 x)/(1 + x^2) d x

I = x ln (1 + x^2) - int (2 x^2)/(1 + x^2) d x

Passo 2

Agora falta resolver a integral que sobrou:

I^' = 2 int (x^2)/(1 + x^2) d x

Vamos somar e subtrair 1 no numerador:

I^' = 2 int (1 - 1 + x^2)/(1 + x^2) d x = 2 int (- (1)/(1 + x^2) + (1 + x^2)/(1 + x^2)) d x

Então:

I^' = 2 int (- (1)/(1 + x^2) + 1) d x = - 2 int (1)/(1 + x^2) d x + 2 int 1 d x

A primeira integral é simplesmente o arctan ( x ) , e a segunda é x , então:

I^' = - 2 arctan (x) + 2 x + C

Passo 3

Agora vamos voltar à nossa integral por partes lá do passo 1 :

I = x ln (1 + x^2) - int (2 x^2)/(1 + x^2) d x

I = x ln (1 + x^2) - (- 2 arctan (x) + 2 x) + C

I = x ln (1 + x^2) + 2 arctan ( x ) - 2 x + C

Resposta

A integral vale x ln (1 + x^2) + 2 arctan ( x ) - 2 x + C .

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