Avalie a integral:

∫ ln ⁡ 1 + x 2   d x

Passo 1

Nós não sabemos integrar essa função da forma como está aí, mas a sua derivada é bem mais simples:

d d x ln ⁡ 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2

Nesse caso, podemos usar a integração por partes para “forçar” a derivada da função a aparecer na conta:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Com as seguinte substituições:

u = ln ⁡ 1 + x 2 d v = d x         ⇒         d u = 2 x 1 + x 2   d x v = x

Então:

I = ∫ ln ⁡ 1 + x 2   d x = x ln ⁡ 1 + x 2 - ∫ x   2 x 1 + x 2   d x

I = x ln ⁡ 1 + x 2 - ∫   2 x 2 1 + x 2   d x

Passo 2

Agora falta resolver a integral que sobrou:

I ' = 2 ∫   x 2 1 + x 2   d x

Vamos somar e subtrair 1 no numerador:

I ' = 2 ∫   1 - 1 + x 2 1 + x 2   d x = 2 ∫ - 1 1 + x 2 + 1 + x 2 1 + x 2   d x

Então:

I ' = 2 ∫ - 1 1 + x 2 + 1   d x = - 2 ∫ 1 1 + x 2   d x + 2 ∫ 1   d x

A primeira integral é simplesmente o arctan ⁡ ( x ) , e a segunda é x , então:

I ' = - 2 arctan ⁡ x + 2 x + C

Passo 3

Agora vamos voltar à nossa integral por partes lá do passo 1 :

I = x ln ⁡ 1 + x 2 - ∫   2 x 2 1 + x 2   d x

I = x ln ⁡ 1 + x 2 - - 2 arctan ⁡ x + 2 x + C

I = x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 arctan ⁡ ( x ) - 2 x + C

Resposta

A integral vale x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 arctan ⁡ ( x ) - 2 x + C .

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