Avalie a integral:int_0^1 (3 x^2 + 1)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

A integral vale (5)/(2) ln 2 - (pi)/(4) .

Enunciado

Vamos começar olhando apenas para a integral indefinida:

O polinômio que está no denominador é bastante simples, então podemos usar nossa intuição pra encontrar uma das suas raízes. Vamos tentar :

Beleza, é uma raiz, então vamos tentar reescrever o polinômio:

Colocando isso na noss integral, ficamos com:

Vamos tentar decompôr essa expressão em frações parciais:

Para encontrar os coeficientes , e , vamos mutliplicar toda a equação por :

Agora temos que “juntar” todos os coeficientes de potências iguais:

E com isso podemos escrever um sistema:

Então a nossa decomposição em frações parciais vai ficar assim:

E podemos separar a segunda fração em duas:

Agora sim, podemos começar a integrar.

A nossa integral é:

As duas primeiras integrais podem ser resolvidas só com um logaritmo:

E a última integral é “tabelada”. É a integral do arco tangente:

Então:

Agora temos que avaliar isso quando varia de até :

Então a integral é:

A integral vale .