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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 26

Avalie a integral:

int_0^1 (3 x^2 + 1)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

Passo 1

Vamos começar olhando apenas para a integral indefinida:

I = int (3 x^2 + 1)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

O polinômio que está no denominador é bastante simples, então podemos usar nossa intuição pra encontrar uma das suas raízes. Vamos tentar x = - 1 :

(- 1)^3 + (- 1)^2 + (- 1) + 1 = 0

Beleza, - 1 é uma raiz, então vamos tentar reescrever o polinômio:

(x^3 + x^2 + x + 1) = (x + 1) (x^2 + 1)

Colocando isso na noss integral, ficamos com:

I = int (3 x^2 + 1)/((x + 1) (x^2 + 1)) d x

Passo 2

Vamos tentar decompôr essa expressão em frações parciais:

(3 x^2 + 1)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (A)/(x + 1) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Para encontrar os coeficientes A , B e C , vamos mutliplicar toda a equação por (x + 1) (x^2 + 1) :

3 x^2 + 1 = A (x^2 + 1) + (B x + C) (x + 1)

Agora temos que “juntar” todos os coeficientes de potências iguais:

3 x^2 + 1 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (A + C)

E com isso podemos escrever um sistema:

{[[A + B = 3],[B + C = 0],[A + C = 1]]) => {[[A - C = 3],[A + C = 1],[B = - C]]) => {[[A = 2],[C = - 1],[B = 1]])

Então a nossa decomposição em frações parciais vai ficar assim:

(3 x^2 + 1)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (2)/(x + 1) + (x - 1)/(x^2 + 1)

E podemos separar a segunda fração em duas:

(3 x^2 + 1)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (2)/(x + 1) + (x)/(x^2 + 1) - (1)/(x^2 + 1)

Agora sim, podemos começar a integrar.

Passo 3

A nossa integral é:

I = int (2)/(x + 1) d x + int (x)/(x^2 + 1) d x - int (1)/(x^2 + 1) d x

As duas primeiras integrais podem ser resolvidas só com um logaritmo:

int (2)/(x + 1) d x = 2 ln |x + 1| + C

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 1| + C

E a última integral é “tabelada”. É a integral do arco tangente:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctan (x)

Então:

I = 2 ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x^2 + 1| - arctan (x) + C

Passo 4

Agora temos que avaliar isso quando x varia de x = 0 até x = 1 :

I_x = 0 = 2 ln |1| + (1)/(2) ln |1| - arctan (0) = 0 + 0 + 0 = 0

I_x = 1 = 2 ln |2| + (1)/(2) ln |2| - arctan (1) = (5)/(2) ln |2| - (pi)/(4)

Então a integral é:

int_0^1 (3 x^2 + 1)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x = (5)/(2) ln |2| - (pi)/(4)

Resposta

A integral vale (5)/(2) ln 2 - (pi)/(4) .

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