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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 9

Avalie a integral:

int_2^4 (x + 2)/(x^2 + 3 x - 4) d x

Passo 1

Como temos uma razão de dois polinômios, vamos tentar decompor a expressão em frações parciais.

Começamos encontrando as raízes do polinômio de segundo grau no denominador:

(- 3 +- sqrt(3^2 - (4) (1) (- 4)))/((2) (1)) = (- 3 +- 5)/(2)

As raízes são 1 e - 4 , e podemos escrever o polinômio da seguinte forma:

x^2 + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

Então a integral indefinida fica da seguinte forma:

int ((x + 2))/((x - 1) (x + 4)) d x

Passo 2

Ok, agora vamos decompôr em frações parciais:

((x + 2))/((x - 1) (x + 4)) = (A)/(x - 1) + (B)/(x + 4)

E para encontrar A e B , vamos multiplicar a equação tudo por (x - 1) (x + 4) :

x + 2 = A (x + 4) + B (x - 1)

x + 2 = (A + B) x + (4 A - B)

E então ficamos com um sistema:

{[[A + B = 1],[4 A - B = 2]])

Somando as duas equações, temos o seguinte:

5 A = 3 => A = 3 // 5

E substituindo esse resultado na primeira equação, temos:

B = 2 // 5

Então nossa decomposição fica assim:

((x + 2))/((x - 1) (x + 4)) = (3 // 5)/(x - 1) + (2 // 5)/(x + 4)

Passo 3

Agora podemos começar a integrar!

int (3 // 5)/(x - 1) d x = (3)/(5) ln |x - 1| + C

int (2 // 5)/(x + 4) d x = (2)/(5) ln |x + 4| + C

E então:

int ((x + 2))/((x - 1) (x + 4)) d x = (3)/(5) ln |x - 1| + (2)/(5) ln |x + 4| + C

Agora precisamos avaliar isso quando x varia de x = 2 até x = 4 . Para x = 4 temos:

(3)/(5) ln |3| + (2)/(5) ln |8|

E para x = 2 (sabendo que ln ( 1 ) = 0 ):

(3)/(5) ln |1| + (2)/(5) ln |6| = (2)/(5) ln |6|

Então a integral é:

I = (3)/(5) ln |3| + (2)/(5) ln |8| - (2)/(5) ln |6|

Passo 4

Vamos usar algumas propriedades do logaritmo para simplificar isso! Começamos substituindo ln ( 6 ) e l n ( 8 ) :

ln ( 6 ) = ln ( 2 ) ( 3 ) = ln ( 2 ) + ln ( 3 )

ln (8) = ln (2^3) = 3 ln (2)

Então:

I = (3)/(5) ln |3| + (2)/(5) ln |8| - (2)/(5) ln |6|

I = (3)/(5) ln |3| + (6)/(5) ln |2| - (2)/(5) ln |2| - (2)/(5) ln |3|

Então ficamos com:

I = (1)/(5) ln ( 3 ) + (4)/(5) ln ( 2 )

Resposta

A integral vale (1)/(5) ln ( 3 ) + (4)/(5) ln ( 2 ) .

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