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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 36

Avalie a integral:

int (1 + sen x)/(1 + cos x) d x

Passo 1

Quando você estiver lidando com uma integral trigonométrica que não consegue resolver de jeito nenhum, lembre da subtituição da tangente do arco metade:

t = tan ((x)/(2))

E para usar essa substituição, você precisa lembrar de algumas fórmulas que acompanham ela:

sen ( x ) = (2 t)/(1 + t^2) & cos (x) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

d x = (2)/(1 + t^2) d t

Essas fórmulas são um pouco chatas de demonstrar, então o ideal é ter elas decoradas para quando precisar dessa definição.

Passo 2

Agora vamos substituir essas fórmulas na nossa função:

1 + sen ( x ) = 1 + (2 t)/(1 + t^2) = (t^2 + 2 t + 1)/(1 + t^2) = ((t + 1)^2)/(t^2 + 1)

1 + cos ( x ) = 1 + (1 - t^2)/(1 + t^2) = (2)/(t^2 + 1)

Então:

(1 + sen x)/(1 + cos x) = (((t + 1)^2)/(t^2 + 1))/((2)/(t^2 + 1)) = ((t + 1)^2)/(2)

Agora vamos substituir isso na integral, junto com a fórmula para d x :

I = int (1 + sen x)/(1 + cos x) d x

I = int ((t + 1)^2)/(2) (2)/(t^2 + 1) d t

I = int (t^2 + 2 t + 1)/(t^2 + 1) d t

Passo 3

Agora vamos separar essa integral em duas partes:

I = int (t^2 + 1)/(t^2 + 1) d t + int (2 t)/(t^2 + 1) d t

I = int d t + int (2 t)/(t^2 + 1) d t

E nós sabemos resolver as duas integrais. Só precisamos lembrar de substituir t = tan ((x)/(2))

int d t = t + C = tan ((x)/(2)) + C

int (2 t)/(t^2 + 1) d t = ln |t^2 + 1| + C = ln |sec^2 ((x)/(2))| + C

E então a integral é:

I = tan ((x)/(2)) + ln |sec^2 ((x)/(2))| + C

E ainda dá pra simplificar um pouco mais:

ln (sec^2 ((x)/(2))) = ln (cos^(- 2) ((x)/(2))) = - 2 ln (cos ((x)/(2)))

Então:

I = tan ((x)/(2)) - 2 ln (cos ((x)/(2))) + C

Resposta

A integral vale tan ((x)/(2)) - 2 ln (cos ((x)/(2))) + C .

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