Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 24

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t

Passo 1

Faaaala, belezuras do Responde Aí!! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando já tem seus termos separados por soma ou subtração e todos os seus termos têm uma fórmula de integração definida na Tabela 5.2 . 1 , não é necessário reescrever o integrando. Logo, se mantém na forma:

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa no caso c .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t = ∫ c o s s e c 2 t   d t - ∫ s e c t   t g t   d t

Tal que o resultado é:

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t = - c o t g t - sec ⁡ t + C

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t = - c o t g t - sec ⁡ t + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d t - c o t g t - sec ⁡ t + C = c o s s e c 2 t - sec ⁡ t t g t + 0

d d t - c o t g t - sec ⁡ t + C = c o s s e c 2 t - sec ⁡ t t g t

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ c o s s e c 2 t - s e c t   t g t d t = - c o t g t - sec ⁡ t + C

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