Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 25

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + t g x d x

Passo 1

Faaaala, belezuras do Responde Aí!! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é formado por termos multiplicando um ao outro, podemos fazer a operação distributiva desse produto, para que os termos tenham uma fórmula de integração definida na Tabela 5.2 . 1 . Fazendo isso:

∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + t g x d x = ∫ sec ⁡ ² x + sec ⁡ x t g x   d x

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa no caso b .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ sec ⁡ ² x + sec ⁡ x t g x   d x = ∫ sec ⁡ ² x d x + ∫ sec ⁡ x   t g x   d x

Tal que o resultado é:

∫ sec ⁡ ² x + sec ⁡ x t g x   d x = t g x + sec ⁡ x + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x t g x + sec ⁡ x + C = sec ⁡ ² x + sec ⁡ x t g x + 0

d d x t g x + sec ⁡ x + C = sec ⁡ ² x + sec ⁡ x t g x

E, tirando o fator comum:

d d x t g x + sec ⁡ x + C = sec ⁡ x sec ⁡ x + t g x

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + t g x d x = t g x + sec ⁡ x + C

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