Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 24
Avalie a integral:
Passo 1
Vamos tentar simplificar a expressão da integral, lembrando que:
Então:
E reorganizando a soma de frações dentro do parênteses, ficamos com:
E agora vamos “abrir” esse parênteses elevado ao quadrado, que vai dar no seguinte:
Então a nossa integral pode ser escrita assim:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 2
Vamos começar pela integral :
Para deixar tudo em termos de uma única função, vamos reescrever esse como:
Continua bastente complicado, mas já dá pra resolver as duas integrais. Começando pela mais simples:
E a outra integral vai dar bem mais trabalho.
Passo 3
Ainda estamos na integral , mas para terminar de resolvê-la precisamos fazer o seguinte:
Vamos tentar uma integral por partes, com as seguintes substituições:
Então:
Vamos reescrever a como:
Então:
Agora podemos somar dos dois lados:
E resolver a integral do lado direito:
Beleza, agora sim podemos finalizar a nossa integral :
Passo 4
Ok, agora vamos passar para a integral :
Vamos reescrever essa expressão usando as definições de e :
E essa é uma integral conhecida, então:
Passo 5
E por último vamos ver a integral :
Agora vamos juntar tudo:
Resposta
A integral vale .