Avalie a integral:

∫ 1 + tan ⁡ x 2 sec ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos tentar simplificar a expressão da integral, lembrando que:

tan ⁡ ( x ) = sen ⁡ x cos ⁡ x           &           sec ⁡ ( x ) = 1 cos ⁡ x

Então:

1 + tan ⁡ x 2 sec ⁡ ( x ) = 1 + sen ⁡ x cos ⁡ x 2 1 cos ⁡ x

E reorganizando a soma de frações dentro do parênteses, ficamos com:

sen ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) 2 1 cos ⁡ x = sen ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos 3 ⁡ x

E agora vamos “abrir” esse parênteses elevado ao quadrado, que vai dar no seguinte:

sen 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x + 1 cos ⁡ x

Então a nossa integral pode ser escrita assim:

∫ 1 + tan ⁡ x 2 sec ⁡ ( x ) d x = ∫ sen 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x + ∫ 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x   d x + ∫ 1 cos ⁡ x   d x

I = I 1 + I 2 + I 3

Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 2

Vamos começar pela integral I 1 :

I 1 = ∫ sen 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x

Para deixar tudo em termos de uma única função, vamos reescrever esse sen 2 ⁡ x como:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

I 1 = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ 1 cos 3 ⁡ x d x - ∫ 1 cos ⁡ x   d x

I 1 = ∫ sec 3 ⁡ x   d x - ∫ sec ⁡ x   d x

Continua bastente complicado, mas já dá pra resolver as duas integrais. Começando pela mais simples:

∫ sec ⁡ x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

E a outra integral vai dar bem mais trabalho.

Passo 3

Ainda estamos na integral I 1 , mas para terminar de resolvê-la precisamos fazer o seguinte:

∫ sec 3 ⁡ x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

Vamos tentar uma integral por partes, com as seguintes substituições:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x   d x         ⇒         d u = sec ⁡ x tan ⁡ x   d x v = tan ⁡ x

Então:

∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x tan 2 ⁡ x   d x

Vamos reescrever a tan 2 ⁡ x como:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1   d x

Então:

∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x   d x + ∫ sec ⁡ x   d x

Agora podemos somar ∫ sec 3 ⁡ x dos dois lados:

2 ∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x   d x

E resolver a integral do lado direito:

2 ∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

∫ sec 3 ⁡ x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Beleza, agora sim podemos finalizar a nossa integral I 1 :

I 1 = ∫ sec 3 ⁡ x   d x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

I 1 = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

I 1 = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Passo 4

Ok, agora vamos passar para a integral I 2 :

I 2 = ∫ 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x   d x

Vamos reescrever essa expressão usando as definições de sec ⁡ ( x ) e tan ⁡ ( x ) :

I 2 = ∫ 2 sec ⁡ x tan ⁡ x d x

E essa é uma integral conhecida, então:

I 2 = 2 sec ⁡ ( x ) + C

Passo 5

E por último vamos ver a integral I 3 :

I 3 = ∫ 1 cos ⁡ x   d x = ∫ sec ⁡ x   d x

I 3 = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Agora vamos juntar tudo:

I = I 1 + I 2 + I 3

I = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + 2 sec ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

I = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + 2 sec ⁡ x + C

Resposta

A integral vale 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + 2 sec ⁡ x + C .

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