Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 35
35. Prove que se for contínua e se em , então
Passo 1
Nós vamos utilizar nessa questão, o Teorema (b), que diz o seguinte:
Se e forem integráveis em e em cada de , então
Traduzindo esse teorema, ele diz que se uma funçãochamaremos deintegrável, é maior (menor) que outra função, chamaremos de, também integrável.
Então a integral da primeira funçãoé maior (menor) do que a integral da segunda função no mesmo intervalo .
Outra coisa que vamos usar é da que se uma função é contínua, então ela é integrável!
Passo 2
Agora vamos para o cálculo mesmo!! Sempre que se deparar com questões que tenham duas inequações tente fazer a parte da direita e depois a da esquerda ou vice-versa, mas sempre faça uma parte de cada vez!
Então vamos começar com essa parte
Se
Então
A função é uma função constante e como toda função constante é uma função contínua, logo é uma função integrável!
Já que e são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!
Ou seja, se , então:
Vamos fazer essa integral aqui:
Voltando para a inequação, temos que:
Passo 3
Vamos fazer a outra parte da inequação no passo 3, vai ser exatamente igual!
Se
Então
Assim como a função , a função é constante, portanto é contínua e sendo contínua, ela é integrável.
Já que e são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!
Ou seja, se , então:
Vamos fazer essa integral aqui:
Voltando para a inequação, temos que:
Então pegando o que fizemos no passo 2 e juntando com o que fizemos no passo 3, temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)