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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 17

Encontre a integral indefinida geral.

∫ 2 t 1 + 5 t d t

Passo 1

Pessoal nessa questão temos que calcular a seguinte integral:

∫ 2 t 1 + 5 t d t

Para resolvê-la, vamos primeiro manipular a expressão resolvendo a distributiva:

∫ 2 t 1 + 5 t d t = ∫ 2 t + 2 t ⋅ 5 t d t

Temos que:

a x ⋅ b x = a ⋅ b x

Para resolver a integral vamos usar que a integral da soma é a soma de integrais, portanto:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E por fim que a integral da exponencial de base qualquer é dada por:

∫ b x   d x = b x ln ⁡ b + C

Bora lá!

Passo 2

Nossa integral ficou sendo:

∫ 2 t + 2 t ⋅ 5 t d t

Usando que:

a x ⋅ b x = a ⋅ b x

Teremos portanto:

∫ 2 t + 2 t ⋅ 5 t d t = ∫ 2 t + 2 ⋅ 5 t d t = ∫ 2 t + 10 t d t

Agora podemos abrir essa integral em duas:

= ∫ 2 t d t + ∫ 10 t d t

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ b x   d x = b x ln ⁡ b + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 t d t + ∫ 10 t d t = 2 t ln ⁡ 2 + 10 t ln ⁡ 10 + C

Resposta

∫ 2 t 1 + 5 t d t = 2 t ln ⁡ 2 + 10 t ln ⁡ 10 + C

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