Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 69
É mostrado o gráfico da aceleração de um carro, medida em Use a Regra do Ponto Médio para estimar o aumento na velocidade do carro durante o intervalo de tempo de segundos.
Passo 1
Oie, tudo certinho por aí 😊?
Nessa questão, o gráfico da função aceleração de um carro em um intervalo de tempo de segundos é dado conforme a imagem abaixo.
Sabendo disso, o enunciado pede para usarmos a Regra do Ponto Médio para estimar qual foi o aumento na velocidade do carro durante esse mesmo período de tempo.
Ou seja, precisamos dar uma estimativa da variação total da velocidade do carro nesse intervalo de segundos.
Mas você se lembra da Regra do Ponto Médio? Se não, não tem problema!
Ela diz que uma aproximação para uma integral definida em é dada por uma soma de Riemann onde os pontos amostrais são os pontos médios de cada subintervalo em que foi dividido.
Matematicamente, temos o seguinte:
onde é o número de subintervalos em que foi dividido, é o comprimento dos subintervalos e
é o ponto médio do intervalo
Pelo visto, se temos que utilizar essa Regra, então vamos ter que calcular uma integral, né?
🤔 Mas qual função temos que integrar?
Bem, conhecemos o gráfico da função , certo? Além disso, a aceleração é a taxa de variação da velocidade, né? Ou seja,
Pelo Teorema da Variação Total, vale que a mudança na velocidade do instante até é dada por
Logo, vamos integrar a função !
🤔 E quais são os limites de integração e ?
Como o intervalo de tempo do problema (e do gráfico) é então a integral definida será
🤔 Mas como fazemos isso se não sabemos a expressão das funções e ?
É exatamente por isso que vamos usar uma aproximação da integral por soma de Riemann, conforme dito na Regra do Ponto Médio.
Agora que já temos mais informações, bora resolver essa questão 🤓?
Passo 2
Vamos começar obtendo cada termo da soma de Riemann
beleza?
Primeiro, escolhemos dividir o intervalo em subintervalos de comprimento
Além disso:
- Para o subintervalo temos como ponto médio
- Para o subintervalo temos como ponto médio
- Para o subintervalo temos como ponto médio
Com isso, usando a regra do Ponto Médio, vamos ter que
ou seja,
Vamos calcular o valor aproximado dessa integral no próximo passo 😉!
Passo 3
Vamos dar uma olhada no gráfico novamente. É importante observar que cada quadradinho cinza tem lados de medida tá?
Após observar o gráfico, podemos fazer as seguintes estimativas:
- No ponto estimamos que .
- No ponto estimamos que
- No ponto estimamos que
Dessa forma, como
então
Assim, uma estimativa do aumento na velocidade do carro durante o intervalo de segundos é de .
Resposta
Uma estimativa do aumento na velocidade do carro durante o intervalo de segundos é de .