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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

Avalie a integral.

int_0^1 (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) d x

Passo 1

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

(x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) = (A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/(x + 2)

Multiplicando tudo por (x + 1)^2 ( x + 2 ) , temos:

x^2 + x + 1 = A ( x + 1 ) ( x + 2 ) + B ( x + 2 ) + C (x + 1)^2

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • x = - 1

    • ( - 1 )^2 + ( - 1 ) + 1 = A ( - 1 + 1 ) ( - 1 + 2 ) + B ( - 1 + 2 ) + C (- 1 + 1)^2

    1 = B ( - 1 + 2 )

    B = 1

  • x = - 2

    • ( - 2 )^2 + ( - 2 ) + 1 = A ( - 2 + 1 ) ( - 2 + 2 ) + B ( - 2 + 2 ) + C (- 2 + 1)^2

    3 = C

  • x = 0

1 = A ( 1 ) ( 2 ) + 2 + 3 (1)^2

1 = 2 A + 5

- 4 = 2 A :. A = - 2

Substituindo, temos:

(x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) = - (2)/(x + 1) + (1)/((x + 1)^2) + (3)/(x + 2)

Passo 2

Agora, aplicamos a integração:

int_0^1 (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) d x = int_0^1 - (2)/(x + 1) d x + int_0^1 (1)/((x + 1)^2) d x + int_0^1 (3)/(x + 2) d x

Usamos a substituição u = x + 1 e d u = d x ; e também u = x + 2 e d u = d x :

= int_0^1 - (2)/(u) d u + int_0^1 (1)/((u)^2) d u + int_0^1 (3)/(u) d u

= - 2 [ln (u)]_0^1 + [- (1)/(u)]_0^1 + 3 [ln (u)]_0^1

Substituindo os intervalos, temos:

= [- 2 ln |x + 1| - (1)/(x + 1) + 3 ln |x + 2|]_0^1

= [- 2 ln |1 + 1| - (1)/(1 + 1) + 3 ln |1 + 2| - (- 2 ln |0 + 1| - (1)/(0 + 1) + 3 ln |0 + 2|)]

int_0^1 (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) d x = (1)/(2) - 5 ln 2 + 3 ln 3

Prontinho!!

Resposta

int_0^1 (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) d x = (1)/(2) - 5 ln 2 + 3 ln 3

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