Avalie a integral.

∫ 0 1 x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) d x

Passo 1

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 2

Multiplicando tudo por x + 1 2 ( x + 2 ) , temos:

x 2 + x + 1 = A ( x + 1 ) ( x + 2 ) + B ( x + 2 ) + C x + 1 2

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • x = - 1
  • ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) + 1 = A ( - 1 + 1 ) ( - 1 + 2 ) + B ( - 1 + 2 ) + C - 1 + 1 2

    1 = B ( - 1 + 2 )

    B = 1

  • x = - 2
  • ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) + 1 = A ( - 2 + 1 ) ( - 2 + 2 ) + B ( - 2 + 2 ) + C - 2 + 1 2

    3 = C

  • x = 0

1 = A ( 1 ) ( 2 ) + 2 + 3 1 2

1 = 2 A + 5

- 4 = 2 A       ∴     A = - 2

Substituindo, temos:

x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) = - 2 x + 1 + 1 x + 1 2 + 3 x + 2

Passo 2

Agora, aplicamos a integração:

∫ 0 1 x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) d x = ∫ 0 1 - 2 x + 1 d x + ∫ 0 1 1 x + 1 2 d x + ∫ 0 1 3 x + 2 d x

Usamos a substituição u = x + 1 e d u = d x ; e também u = x + 2 e d u = d x :

= ∫ 0 1 - 2 u d u + ∫ 0 1 1 u 2 d u + ∫ 0 1 3 u d u

= - 2 ln ⁡ u 0 1 + - 1 u 0 1 + 3 ln ⁡ u 0 1

Substituindo os intervalos, temos:

= - 2 ln ⁡ x + 1 - 1 x + 1 + 3 ln ⁡ x + 2 0 1

= - 2 ln ⁡ 1 + 1 - 1 1 + 1 + 3 ln ⁡ 1 + 2 - - 2 ln ⁡ 0 + 1 - 1 0 + 1 + 3 ln ⁡ 0 + 2

∫ 0 1 x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) d x = 1 2 - 5 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3

Prontinho!!

Resposta

∫ 0 1 x 2 + x + 1 x + 1 2 ( x + 2 ) d x = 1 2 - 5 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados