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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 22

22. Calcule a integral.

int (x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) d x

Passo 1

Show de bolinhas galeris, queremos usar a técnica de frações parciais para integrar essa coisa linda de integral, MAAASS nosso numerador possui o grau maior do que o denominador, por isso devemos dar uma leve fatorada nesses polinômio pras coisas ficarem mais arrumadinhas, saca só, efetuando a divisão desses polinômios, chegamos em:

[[[,x^4,+,0,x^3,+,9,x^2,+,x,+,2],[-,x^4,+,9,x^2,,,,,,],[,,,,,18,x^2,+,x,+,2],[,,,,,,,,,],[,,,,,,,,,]],[[,x^2,-,9],[,x^2,,],[,,,],[,,,],[,,,]]]

[[[,x^4,+,0,x^3,+,9,x^2,+,x,+,2],[-,x^4,+,9,x^2,,,,,,],[,,,,,18,x^2,+,x,+,2],[,,,,-,18,x^2,+,0,+,162],[,,,,,,,x,+,164]],[[,x^2,-,9],[,x^2,+,18],[,,,],[,,,],[,,,]]]

Logo:

(x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) = x^2 + 18 + (x + 164)/(x^2 - 9)

Isso quer dizer que nossa integral pode ser escrita como:

int (x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) d x = int x^2 + 18 + (x + 164)/(x^2 - 9) d x = int x^2 d x + int 18 d x + int (x + 164)/(x^2 - 9) d x

Passo 2

Show de bolinhas então, para os termos x^2 e 18 , nossa integral é uma integral direta, sem muito segredo, precisamos focar na outra parte dela, onde devemos usar a técnica de frações parciais. Pra isso, vamos organizar o denominador dessa função, assim:

(x + 164)/(x^2 - 9) = (x + 164)/((x - 3) (x + 3)) = (A)/(x - 3) + (B)/(x + 3)

(x + 3) A + (x - 3) B = x + 164

x (A + B) = x

3 (A - B) = 164

E montamos nosso sisteminha:

{[[A,+,B,=,1],[A,-,B,=,(164)/(3)]])

{[[A,=,1,-,B],[A,-,B,=,(164)/(3)]])

(1 - B) - B = (164)/(3)

2 B = - (161)/(3)

B = - (161)/(6)

E para A :

A = 1 - B = 1 + (161)/(6)

A = (167)/(6)

Assim, a integral fica

int (x + 164)/(x^2 - 9) d x = int (167)/(6) ((1)/(x - 3)) - (161)/(6) ((1)/(x + 3)) d x

int (167)/(6) ((1)/(x - 3)) - (161)/(6) ((1)/(x + 3)) d x = (167)/(6) ln |x - 3| - (161)/(6) ln |x + 3|

Logo:

int (x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) d x = int x^2 d x + int 18 d x + int (x + 164)/(x^2 - 9) d x

int (x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) d x = (x^3)/(3) + 18 x + (167)/(6) ln |x - 3| - (161)/(6) ln |x + 3| + C

Resposta

int (x^4 + 9 x^2 + x + 2)/(x^2 - 9) d x = (x^3)/(3) + 18 x + (167)/(6) ln |x - 3| - (161)/(6) ln |x + 3| + C

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