Calcule a integral definida.

∫ 0 1 / 2 2 x x 3 - x 2 - x + 1   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 1 / 2 2 x x 3 - x 2 - x + 1   d x

Para resolvermos essa integral vamos usar frações parciais:

x 3 - x 2 - x + 1 = x 2 x - 1 - x - 1 = x 2 - 1 x - 1 = x - 1 2 ( x + 1 )

Assim,

2 x x 3 - x 2 - x + 1 = 2 x x - 1 2 x + 1 = A x + 1 + B x - 1 + C x - 1 2

Portanto,

2 x = A x - 1 2 + B x - 1 x + 1 + C ( x - 1 )

Logo,

A x 2 - 2 x + 1 + B x 2 - 1 + C x - 1 = 2 x

Desta forma,

A + B x 2 + - 2 A + C x + A - B - C = 2 x

Assim, obtemos o sistema:

A + B = 0 - 2 A + C = 2 A - B - C = 0

Resolvendo esse sistema obtemos

A = - 1 2 ,   B = 1 2   e   C = 1

Assim,

2 x x 3 - x 2 - x + 1 = - 1 2 ⋅ 1 x + 1 + 1 2 ⋅ 1 x - 1 + 1 x - 1 2

Logo,

I = 1 2 ∫ 0 1 / 2 1 x - 1 - 1 x + 1   d x + ∫ 0 1 / 2 1 x - 1 2   d x

Passo 2

Fazendo as integrações:

I = 1 2 ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 0 1 2 - 1 x - 1 0 1 2

Assim,

I = 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1 0 1 2 - 1 x - 1 0 1 2

Passo 3

Desta forma, substituindo os extremos:

I = 1 2 ln ⁡ - 1 / 2 3 / 2 - ln ⁡ - 1 1 - 1 - 1 / 2 + 1 - 1

Portanto,

I = 1 2 ln ⁡ 1 3 + 2 - 1 = 1 - 1 2 ln ⁡ 3 = 1 - ln ⁡ 3

Resposta

1 - ln ⁡ 3

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