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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 85

Calcule a integral definida.

int_0^(1 // 2) (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^(1 // 2) (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) d x

Para resolvermos essa integral vamos usar frações parciais:

x^3 - x^2 - x + 1 = x^2 (x - 1) - (x - 1) = (x^2 - 1) (x - 1) = (x - 1)^2 ( x + 1 )

Assim,

(2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) = (2 x)/((x - 1)^2 (x + 1)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2)

Portanto,

2 x = A (x - 1)^2 + B (x - 1) (x + 1) + C ( x - 1 )

Logo,

A (x^2 - 2 x + 1) + B (x^2 - 1) + C (x - 1) = 2 x

Desta forma,

(A + B) x^2 + (- 2 A + C) x + A - B - C = 2 x

Assim, obtemos o sistema:

{[[A + B = 0],[- 2 A + C = 2],[A - B - C = 0]])

Resolvendo esse sistema obtemos

A = - (1)/(2) , B = (1)/(2) e C = 1

Assim,

(2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) = - (1)/(2) * (1)/(x + 1) + (1)/(2) * (1)/(x - 1) + (1)/((x - 1)^2)

Logo,

I = (1)/(2) int_0^(1 // 2) ((1)/(x - 1) - (1)/(x + 1)) d x + int_0^(1 // 2) (1)/((x - 1)^2) d x

Passo 2

Fazendo as integrações:

I = (1)/(2) (ln |x - 1| - ln |x + 1|)_0^((1)/(2)) - ((1)/(x - 1))_0^((1)/(2))

Assim,

I = ((1)/(2) ln |(x - 1)/(x + 1)|)_0^((1)/(2)) - ((1)/(x - 1))_0^((1)/(2))

Passo 3

Desta forma, substituindo os extremos:

I = (1)/(2) (ln |(- 1 // 2)/(3 // 2)| - ln |- (1)/(1)|) - (1)/(- 1 // 2) + (1)/(- 1)

Portanto,

I = (1)/(2) ln (1)/(3) + 2 - 1 = 1 - (1)/(2) ln 3 = 1 - ln sqrt(3)

Resposta

1 - ln sqrt(3)

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