Calcule a integral definida. int_0^(1 // 2) (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) d x Passo 1A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular I = int_0^(1 // 2) (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) d x Para resolvermos essa integral vamos usar frações parciais: x^3 - x^2 - x + 1 = x^2 (x - 1) - (x - 1) = (x^2 - 1) (x - 1) = (x - 1)^2 ( x + 1 ) Assim, (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) = (2 x)/((x - 1)^2 (x + 1)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1) + (C)/((x - 1)^2) Portanto, 2 x = A (x - 1)^2 + B (x - 1) (x + 1) + C ( x - 1 ) Logo, A (x^2 - 2 x + 1) + B (x^2 - 1) + C (x - 1) = 2 x Desta forma, (A + B) x^2 + (- 2 A + C) x + A - B - C = 2 x Assim, obtemos o sistema: {[[A + B = 0],[- 2 A + C = 2],[A - B - C = 0]]) Resolvendo esse sistema obtemos A = - (1)/(2) , B = (1)/(2) e C = 1 Assim, (2 x)/(x^3 - x^2 - x + 1) = - (1)/(2) * (1)/(x + 1) + (1)/(2) * (1)/(x - 1) + (1)/((x - 1)^2) Logo, I = (1)/(2) int_0^(1 // 2) ((1)/(x - 1) - (1)/(x + 1)) d x + int_0^(1 // 2) (1)/((x - 1)^2) d x Passo 2Fazendo as integrações: I = (1)/(2) (ln |x - 1| - ln |x + 1|)_0^((1)/(2)) - ((1)/(x - 1))_0^((1)/(2)) Assim, I = ((1)/(2) ln |(x - 1)/(x + 1)|)_0^((1)/(2)) - ((1)/(x - 1))_0^((1)/(2)) Passo 3Desta forma, substituindo os extremos: I = (1)/(2) (ln |(- 1 // 2)/(3 // 2)| - ln |- (1)/(1)|) - (1)/(- 1 // 2) + (1)/(- 1) Portanto, I = (1)/(2) ln (1)/(3) + 2 - 1 = 1 - (1)/(2) ln 3 = 1 - ln sqrt(3) Resposta 1 - ln sqrt(3) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosExpresse o integrante como soma de frações parciais e calcule a integral. ∫ d t t 3 + t 2 - 2 tExpresse o integrante como soma de frações parciais e calcule a integral. ∫ x + 3 2 x 3 - 8 xd xCalcule:int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d xCalcule:int (x + 3)/((x - 1)^2) d xCalcule:int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d xVer TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Frações ParciaisVer exercício 9.Revisão - 88Ver exercício 9.Revisão - 84