Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 1
Calcule.
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos com um fator irredutível do grau, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Passo 2
Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de e de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Usando o isolado na primeira e o isolado na terceira na segunda expressão:
Agora vamos achar os valores de e :
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.
Passo 3
Vamos usar a Regra da Substituição na primeira, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Com a segunda vamos completar quadrado no denominador:
Vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Vamos calcular as duas separadamente.
Passo 5
Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:
Assim:
Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:
Aplicando:
Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 6
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: