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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 35

Avalie a integral.

int (5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Ele já se encontra na sua forma redutível. Então é só resolvermos!!

Passo 2

Aplicando frações parciais:

(5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) = (A)/(x) + (B x + C)/(( x^2 + 1 )) + (D x + E)/((x^2 + 1)^2)

Multiplicando tudo por x (x^2 + 1)^2 , temos:

5 x^4 + 7 x^2 + x + 2 = A (x^2 + 1)^2 + ( B x + C ) (x^2 + 1) x + ( D x + E ) x

Resolvendo isso temos que:

5 x^4 + 7 x^2 + x + 2 = A x^4 + 2 A x^2 + A + B x^4 + B x^2 + C x^3 + C x + D x^2 + E x

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + B = 5

2 A + B + D = 7

C + E = 1

C = 0

A = 2

Usando os valores que já temos nas equações, achamos que: B = 3 , D = 0 , E = 1 . Daí substituímos na nossa expressão:

(5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) = (2)/(x) + (3 x)/(( x^2 + 1 )) + (1)/((x^2 + 1)^2)

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

int (5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) d x = int (2)/(x) + (3 x)/(( x^2 + 1 )) + (1)/((x^2 + 1)^2) d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= int (2)/(x) d x + int (3 x)/(( x^2 + 1 )) d x + int (1)/((x^2 + 1)^2) d x

= 2 int (1)/(x) d x + 3 int (x)/(( x^2 + 1 )) d x + int (1)/((x^2 + 1)^2) d x

Usamos substituição para a segunda integral u = x^2 + 1 e d u = 2 x d x :

= 2 int (1)/(x) d x + (3)/(2) int (1)/(( u )) d u + int (1)/((x^2 + 1)^2) d x

Integramos e substituímos o valor de u :

= 2 ln | x | + (3)/(2) ln | x^2 + 1 | + int (1)/((x^2 + 1)^2) d x

Mas faltou uma integral a ser resolvida . Para essa usamos uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Para a substituição trigonométrica, fazemos:

x = tan theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituimos:

int (sec^2 theta d theta)/((t a n^2 theta + 1)^2) = int (sec^2 theta d theta)/(sec^4 theta) = int cos theta d theta

Nessa integral do cosseno aplicamos aquela integral: cos^2 theta = (1)/(2) ( 1 + cos 2 theta ) . Logo,

int cos theta d theta = int (1)/(2) ( 1 + cos 2 theta ) d theta

Essa integral resulta em:

(1)/(2) int 1 + cos 2 theta d theta = (1)/(2) theta + (1)/(4) sin 2 theta + C = (1)/(2) + (1)/(2) sin theta cos theta + C

Pelo triangulo retângulo, temos que

Logo,

= (1)/(2) arctan x + (1)/(2) (x)/(sqrt(x^2 + 1)) (1)/(sqrt(x^2 + 1)) + C

Então o nosso resultado é:

int (5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) d x = 2 ln | x | + (3)/(2) ln | x^2 + 1 | + (1)/(2) arctan x + (x)/(2 ( x^2 + 1 )) + C

Prontinho!!

Resposta

int (5 x^4 + 7 x^2 + x + 2)/(x (x^2 + 1)^2) d x = 2 ln | x | + (3)/(2) ln | x^2 + 1 | + (1)/(2) arctan x + (x)/(2 ( x^2 + 1 )) + C

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