Avalie a integral.

∫ 5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Ele já se encontra na sua forma redutível. Então é só resolvermos!!

Passo 2

Aplicando frações parciais:

5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 = A x + B x + C ( x 2 + 1 ) + D x + E x 2 + 1 2

Multiplicando tudo por x x 2 + 1 2 , temos:

5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 = A x 2 + 1 2 + ( B x + C ) x 2 + 1 x + ( D x + E ) x

Resolvendo isso temos que:

5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 = A x 4 + 2 A x 2 + A + B x 4 + B x 2 + C x 3 + C x + D x 2 + E x

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + B = 5

2 A + B + D = 7

C + E = 1

C = 0

A = 2

Usando os valores que já temos nas equações, achamos que: B = 3 , D = 0 , E = 1 . Daí substituímos na nossa expressão:

5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 = 2 x + 3 x ( x 2 + 1 ) + 1 x 2 + 1 2

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

∫ 5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 d x = ∫ 2 x + 3 x ( x 2 + 1 ) + 1 x 2 + 1 2 d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= ∫ 2 x d x + ∫ 3 x ( x 2 + 1 ) d x + ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

= 2 ∫ 1 x d x + 3 ∫ x ( x 2 + 1 ) d x + ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Usamos substituição para a segunda integral u = x 2 + 1 e d u = 2 x d x :

= 2 ∫ 1 x d x + 3 2 ∫ 1 ( u ) d u + ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Integramos e substituímos o valor de u :

= 2 ln ⁡ | x | + 3 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Mas faltou uma integral a ser resolvida . Para essa usamos uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Para a substituição trigonométrica, fazemos:

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituimos:

∫ sec 2 ⁡ θ d θ t a n 2 θ + 1 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 4 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ

Nessa integral do cosseno aplicamos aquela integral: cos 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) . Logo,

∫ cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

Essa integral resulta em:

1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ + C = 1 2 + 1 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Pelo triangulo retângulo, temos que

Logo,

= 1 2 arctan ⁡ x + 1 2 x x 2 + 1 1 x 2 + 1 + C

Então o nosso resultado é:

∫ 5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 d x = 2 ln ⁡ | x | + 3 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + 1 2 arctan ⁡ x + x 2 ( x 2 + 1 ) + C

Prontinho!!

Resposta

∫ 5 x 4 + 7 x 2 + x + 2 x x 2 + 1 2 d x = 2 ln ⁡ | x | + 3 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + 1 2 arctan ⁡ x + x 2 ( x 2 + 1 ) + C

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