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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 28

Avalie a integral.

int (x^3 + 6 x - 2)/(x^4 + 6 x^2) d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Vamos verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

(x^3 + 6 x - 2)/(x^4 + 6 x^2) = (x^3 + 6 x - 2)/(x^2 ( x^2 + 6 ))

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

(x^3 + 6 x - 2)/(x^2 ( x^2 + 6 )) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C x + D)/(x^2 + 6)

Multiplicando tudo por ( x + 2 ) ( x + 1 ) , temos:

x^3 + 6 x - 2 = A x (x^2 + 6) + B (x^2 + 6) + ( C x + D ) ( x^2 )

Resolvendo isso temos que:

x^3 + 6 x - 2 = A x^3 + 6 A x + B x^2 + 6 B + C x^3 + D x^2

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = 0

6 A = 6

6 B = - 2

Resolvendo isso, encontramos A = 1 , B = - (1)/(3) e substituindo nas outras equações temos, C = 0 e D = (1)/(3) .

Logo,

(x^3 + 6 x - 2)/(x^2 ( x^2 + 6 )) = (1)/(x) - (1)/(3 x^2) + (1)/(3 ( x^2 + 6 ))

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

int (x^3 + 6 x - 2)/(x^4 + 6 x^2) d x = int (1)/(x) d x - int (1)/(3 x^2) d x + int (1)/(3 ( x^2 + 6 )) d x

= ln | x | - (1)/(3) (- (1)/(x)) + (1)/(3) arctan ((x)/(3)) + C

Organizamos tudo direitinho e o nosso resultado será:

int (x^3 + 6 x - 2)/(x^4 + 6 x^2) d x = ln | x | + (1)/(3 x) + (1)/(3 sqrt(6)) arctan ((x)/(sqrt(6))) + C

Prontinho!!

Resposta

int (x^3 + 6 x - 2)/(x^4 + 6 x^2) d x = ln | x | + (1)/(3 x) + (1)/(3 sqrt(6)) arctan ((x)/(sqrt(6))) + C

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