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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 27

Avalie a integral.

int (x^3 + 4 x + 3)/(x^4 + 5 x^2 + 4) d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Vamos verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

(x^3 + 4 x + 3)/(x^4 + 5 x^2 + 4) = (x^3 + 4 x + 3)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 ))

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

(x^3 + 4 x + 3)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 )) = (A x + B)/(( x^2 + 1 )) + (C x + D)/(( x^2 + 4 ))

Multiplicando tudo por ( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 ) , temos:

x^3 + 4 x + 3 = ( A x + B ) (x^2 + 4) + ( C x + D ) ( x^2 + 1 )

Resolvendo isso temos que:

x^3 + 4 x + 3 = A x^3 + 4 A x + B x^2 + 4 B + C x^3 + C x + D x^2 + D

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = 0

4 A + C = 4

4 B + D = 3

Resolvemos então os sistemas, multiplicando por ( - 1 ) uma das equações

- A - C = - 1

4 A + C = 4

Nessa primeira temos que A = 1 e C = 0 . Resolvendo o segundo sistema:

- B - D = 0

4 B + D = 3

Os valores são B = 1 e D = - 1 .

Substituimos:

(x^3 + 4 x + 3)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 )) = (x + 1)/(( x^2 + 1 )) - (1)/(( x^2 + 4 ))

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

int (x^3 + 4 x + 3)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 )) d x = int (x + 1)/(( x^2 + 1 )) d x - int (1)/(( x^2 + 4 )) d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= int (x)/(( x^2 + 1 )) + (1)/(( x^2 + 1 )) d x - int (1)/(( x^2 + 4 )) d x

= int (x)/(( x^2 + 1 )) d x + int (1)/(( x^2 + 1 )) d x - int (1)/(( x^2 + 4 )) d x

Usamos substituição para a primeira integral u = x^2 + 1 e d u = 2 x d x :

= (1)/(2) int (1)/(u) d u + int (1)/(( x^2 + 1 )) d x - int (1)/(( x^2 + 4 )) d x

Integramos e substituímos o valor de u :

= (1)/(2) ln | u | + arctan x - (1)/(2) arctan ((x)/(2)) + C

= (1)/(2) ln | x^2 + 1 | + arctan x - (1)/(2) arctan ((x)/(2)) + C

Então,

int (x^3 + 4 x + 3)/(x^4 + 5 x^2 + 4) d x = (1)/(2) ln | x^2 + 1 | + arctan x - (1)/(2) arctan ((x)/(2)) + C

Prontinho!!

Resposta

int (x^3 + 4 x + 3)/(x^4 + 5 x^2 + 4) d x = (1)/(2) ln | x^2 + 1 | + arctan x - (1)/(2) arctan ((x)/(2)) + C

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