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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 44

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma racional função e, em seguida, avalie a integral.

∫ d x 1 + x 2

Passo 1

Essa é bem simples!! Vamos apenas usar uma substituiçãozinha, na seguinte forma:

u = 1 + x         ∴         x = u - 1 2

d u = 1 2 x d x

Agora é só aplicarmos!!

Passo 2

Fazendo a substituição:

∫ 1 u 2 × 2 x d u

∫ 1 u 2 × 2 u - 1 2 d u = ∫ 2 u - 1 u 2 d u = ∫ 2 u - 2 u 2 d u

Separamos as frações, logo,

∫ 2 u - 2 u 2 d u = ∫ 2 u u 2 - 2 u 2 d u

Simplificando a integral, temos:

2 ∫ 1 u - 1 u 2 d u = 2 ln ⁡ u + 2 u + C

Substituindo os valores de u :

= 2 ln ⁡ ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) + C

Prontinho!!

Resposta

∫ d x 1 + x 2 = 2 ln ⁡ ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x ) + C

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