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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 56

Exercício: 56 – determine o volume do sólido gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo indicado.

Eixo y:

Passo 1

Como é pelo eixo y, os limites da integral será a = 0 e b = 1

Assim utilizando a fórmula do volume:

2 π ∫ a b x y   d x = 2 π ∫ 0 1 x ⋅ 2 ( x + 1 ) ( 2 - x ) d x = 2 π ∫ 0 1 2 x ( x + 1 ) ( 2 - x ) d x = 4 π ∫ 0 1 x ( x + 1 ) ( 2 - x ) d x

Assim:

4 π ∫ 0 1 x ( x + 1 ) ( 2 - x ) d x

Passo 2

Utilizando o método das frações parciais:

x ( x + 1 ) ( 2 - x ) = A x + 1 + B 2 - x

Tirando mmc:

x x + 1 2 - x = A 2 - x + B ( x + 1 ) x + 1 2 - x

Assim:

x = 2 A - A x + B x + B

Deste modo:

x = - A + B x + 2 A + B

- A + B = 1   ; B = A + 1

2 A + B = 0

2 A + A + 1 = 0

3 A + 1 = 0

3 A = - 1   ; A =   - 1 3

B = A + 1   ; B =   - 1 3 + 1   ; B = 2 3

Substituindo:

x x + 1 2 - x = - 1 3 x + 1 + 2 3 2 - x = - 1 3 x + 1 + 2 3 2 - x

Inserindo na integral de forma indefinida:

4 π - 1 3 ∫ 1 x + 1 d x + 2 3 ∫ 1 2 - x d x =   4 π - 1 3 ∫ 1 x + 1 d x - 2 3 ∫ 1 - 2 + x d x = 4 π - 1 3 ln ⁡ x + 1 - 2 3 ∫ 1 x - 2 d x  

Resolvendo a integral:

- 2 3 ∫ 1 x - 2 d x

t = x - 2

d t =   1

d x = 1 d t = 1

- 2 3 ∫ 1 ⋅ 1 t d t =   - 2 3 ∫ 1 t d t =   - 2 3 ln ⁡ t =   - 2 3 ln ⁡ x - 2

Substituindo:

4 π - 1 3 ln ⁡ x + 1 - 2 3 ln ⁡ x - 2 ⁡ =   - 4 π 3 ln ⁡ x + 1 - 8 π 3 ln ⁡ x - 2

Passo 3

Resolvendo os limites de integração:

- 4 π 3 ln ⁡ x + 1 - 8 π 3 ln ⁡ x - 2 0 1 = - 4 π 3 ln ⁡ 1 + 1 - 8 π 3 ln ⁡ 1 - 2 - - 4 π 3 ln ⁡ 0 + 1 - 8 π 3 ln ⁡ 0 - 2

Resolvendo:

- 4 π 3 ln ⁡ 2 - 8 π 3 ln ⁡ - 1 + 4 π 3 ln ⁡ 1 + 8 π 3 ln ⁡ - 2

- 4 π 3 ln ⁡ 2 - 8 π 3 ln ⁡ 1 + 4 π 3 ln ⁡ 1 + 8 π 3 ln ⁡ 2

Dado ln ⁡ 1 = 0

- 4 π 3 ln ⁡ 2 + 8 π 3 ln ⁡ 2 = 4 π 3 ( ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ | 2 | ) = 4 π 3 ln ⁡ 2

Resposta

4 π 3 ln ⁡ 2

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