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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 21

Avalie a integral.

int (d t)/((t^2 - 1)^2)

Passo 1

Para essa resolução podemos reescrever como:

int (d t)/((t^2 - 1)^2) = int (d t)/((t + 1)^2 (t - 1)^2)

Podemos aplicar o método das frações parciais!!

Passo 2

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

(d t)/((t + 1)^2 (t - 1)^2) = (A)/(t + 1) + (B)/((t + 1)^2) + (C)/(t - 1) + (D)/((t - 1)^2)

Multiplicando tudo por (t + 1)^2 (t - 1)^2 , temos:

1 = A (t + 1) (t - 1)^2 + B (t - 1)^2 + C (t - 1) (t + 1)^2 + D (t + 1)^2

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • t = 1

    • 1 = D (1 + 1)^2

    1 = D ( 4 )

    D = (1)/(4)

  • t = - 1

    • 1 = B (- 1 - 1)^2

    B = (1)/(4)

  • t = 0

    • 1 = A (0 + 1) (0 - 1)^2 + (1)/(4) (0 - 1)^2 + C (0 - 1) (0 + 1)^2 + (1)/(4) (0 + 1)^2

    1 = A + (1)/(4) - C + (1)/(4)

    A - C = (1)/(2)

  • t = 2

1 = A (2 + 1) (2 - 1)^2 + (1)/(4) (2 - 1)^2 + C (2 - 1) (2 + 1)^2 + (1)/(4) (2 + 1)^2

A + 3 C = - (1)/(2)

Resolvendo o sistema e multiplicando a primeira por ( - 1 ) :

- A + C = - (1)/(2)

A + 3 C = - (1)/(2)

Logo, A = (1)/(4) e C = - (1)/(4) .

Substituindo, temos:

(d t)/((t + 1)^2 (t - 1)^2) = (1)/(4 ( t + 1 )) + (1)/(4 (t + 1)^2) - (1)/(4 ( t - 1 )) + (1)/(4 (t - 1)^2)

Passo 3

Agora, aplicamos a integração:

int (d t)/((t^2 - 1)^2) = int (1)/(4 ( t + 1 )) + (1)/(4 (t + 1)^2) - (1)/(4 ( t - 1 )) + (1)/(4 (t - 1)^2) d t

Usamos a substituição u = t + 1 e d u = d t para as duas primeiras integrais e u = t - 1 e d u = d t . Fazemos:

int (d t)/((t^2 - 1)^2) = (1)/(4) int (1)/(( u )) + (1)/((u)^2) - (1)/(( u )) + (1)/((u)^2) d u

= (1)/(4) int (1)/(( u )) + (1)/((u)^2) - (1)/(( u )) + (1)/((u)^2) d u

Integrando e substituindo o valor de u :

= (1)/(4) ln | t + 1 | - (1)/(4 (t + 1)) - (1)/(4) ln |t - 1| - (1)/(4 (t - 1)) + C

Prontinho!!

Resposta

int (d t)/((t^2 - 1)^2) = (1)/(4) ln | t + 1 | - (1)/(4 (t + 1)) - (1)/(4) ln |t - 1| - (1)/(4 (t - 1)) + C

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