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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 10

10. Calcule a integral.

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t

Passo 1

Vamos lá galerinha, esse aqui já veio bonitinho pra gente, as funções já estão separadas, só precisamos encontrar os coeficientes para realizar a integração:

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = int (A)/(t + 4) + (B)/(t - 1) d t

(A)/(t + 4) + (B)/(t - 1) = ((A (t - 1) + B (t + 4)))/((t + 4) (t - 1)) = (1)/((t + 4) (t - 1))

Logo:

A t + B t = t ( A + B ) = 0 t

4 B - A = 1

{[[A,+,B,=,0],[4,B,-,A,=,1]])

B = (1)/(5) , A = - (1)/(5)

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = int (A)/(t + 4) + (B)/(t - 1) d t = int - (1)/(5) . (1)/(t + 4) + (1)/(5) . (1)/(t - 1) d t

= - (1)/(5) ln |t + 4| + (1)/(5) ln |t - 1| = (1)/(5) (ln |t - 1| - ln |t + 4|) = (1)/(5) ln |(t - 1)/(t + 4)|

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = (1)/(5) ln |(t - 1)/(t + 4)| + C

Resposta

Portanto, temos que:

int (1)/((t + 4) (t - 1)) d t = (1)/(5) ln |(t - 1)/(t + 4)| + C

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