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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 70

Calcule a integral :

int (x^3 + 2)/(4 - x^2) d x

Passo 1

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Bom, estamos diante de uma fração, porém o grau do polinômio do numerador é maior que do denominador, então vamos começar dividindo e reescrevendo essa integral.

int (x^3 + 2)/(4 - x^2) d = - int (x + (4 x + 2)/(x^2 + 4)) d x = - int x d x - int (4 x + 2)/(x^2 + 4) d x

Passo 2

Bom, agora, vamos precisar reescrever o termo: int (4 x + 2)/(x^2 + 4) .

(4 x + 2)/(x^2 + 4) = (A)/(( x + 2 )) + (B)/(( x - 2 ))

4 x + 2 = A (x - 2) + B ( x + 2 )

= A x - 2 A + B x + 2 B

= (A + B) x + ( - 2 A + 2 B )

Assim, temos o seguinte sistema:

{[[A + B = 4],[- 2 A + 2 B = 2]])

A = (3)/(2)

B = (5)/(2)

Voltando para a integral:

- int (4 x + 2)/(x^2 + 4) = - (3)/(2) int (d x)/(( x + 2 )) - (5)/(2) int (d x)/(( x - 2 ))

= - (3)/(2) ln |x + 2| - (5)/(2) ln |x - 2|

Passo 3

Agora, devemos voltar ao passo 1 e substituir os valores encontrados:

= - int x d x - int (4 x + 2)/(x^2 + 4)

= - (x^2)/(2) - (3)/(2) ln |x + 2| - (5)/(2) ln |x - 2| + C

Resposta

- (x^2)/(2) - (3)/(2) ln |x + 2| - (5)/(2) ln |x - 2| + C

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