Calcule a integral :

∫ x 3 + 2 4 - x 2   d x  

Passo 1

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Bom, estamos diante de uma fração, porém o grau do polinômio do numerador é maior que do denominador, então vamos começar dividindo e reescrevendo essa integral.

∫ x 3 + 2 4 - x 2   d =   - ∫ x +   4 x + 2 x 2 + 4   d x =   - ∫ x   d x - ∫ 4 x + 2 x 2 + 4   d x

Passo 2

Bom, agora, vamos precisar reescrever o termo: ∫ 4 x + 2 x 2 + 4 .

4 x + 2 x 2 + 4 =   A ( x + 2 ) +   B ( x - 2 )

4 x + 2 = A x - 2 + B ( x + 2 )

= A x - 2 A + B x + 2 B

= A + B x + ( - 2 A + 2 B )

Assim, temos o seguinte sistema:

A + B = 4 - 2 A + 2 B = 2

A = 3 2

B = 5 2

Voltando para a integral:

- ∫ 4 x + 2 x 2 + 4 = - 3 2 ∫ d x ( x + 2 ) - 5 2 ∫ d x ( x - 2 )

= - 3 2 ln ⁡ x + 2 - 5 2 ln ⁡ x - 2

Passo 3

Agora, devemos voltar ao passo 1 e substituir os valores encontrados:

=   - ∫ x   d x   - ∫ 4 x + 2 x 2 + 4  

= - x 2 2 - 3 2 ln ⁡ x + 2 - 5 2 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

- x 2 2 - 3 2 ln ⁡ x + 2 - 5 2 ln ⁡ x - 2 + C  

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