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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 16

Expresse o integrante como soma de frações parciais e calcule a integral.

∫ x + 3 2 x 3 - 8 x   d x

Passo 1

Para solucionar uma integral por expansão de frações parciais, temos que separar os denominadores como funções de primeiro grau e em seguida descobrir quais numeradores satisfazem essas novas frações.

Feito isso, dividimos em integrais distintas e solucionamos usando as propriedades de logaritmo natural l n , obtendo nossa solução.

Passo 2

Colocando x em evidência tirando a constante, teremos:

1 2 ∫ x + 3 x x 2 - 4 d x

Usando produtos notáveis, expandiremos o termo quadrático como o produto da soma pela diferença:

1 2 ∫ x + 3 x x + 2 x - 2 d x

Separando as frações em denominadores diferentes, sem multiplicar por constantes, temos:

A x + B x + 2 + C x - 2

Passo 3

Agora, solucionaremos os valores para os novos numeradores, através da igualdade:

A x + B x + 2 + C x - 2 = x + 3 2 x x + 2 x - 2

Fazendo o mínimo múltiplo comum entre eles, teremos:

A x - 2 x + 2 + B × x x - 2 + C × x x + 2 = x + 3

A x 2 - 4 + B x 2 - 2 x + C x 2 + 2 x = x + 3

A x 2 - 4 A + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x = x + 3

Separando os termos de mesma ordem, teremos:

x 2 A + B + C + x - 2 B + 2 C - 4 A = x + 3

Igualando os coeficientes de ambos os lados da equação:

A + B + C = 0 - 2 B + 2 C = 1 - 4 A = 3

A = 3 - 4 = - 3 4

Substituindo, teremos:

B + C = 3 4 - 2 B + 2 C = 1

Simplificando ambas as equações, teremos:

B + C = 3 4 - B + C = 1 2

C = 3 4 - B C = 1 2 + B

3 4 - B = 1 2 + B

2 B = 3 4 - 1 2

B = 3 - 2 4 × 1 2

B = 1 8

Substituindo, teremos:

C = 1 2 + 1 8

C = 4 + 1 8

C = 5 8

A =   - 3 4 ,     B = 1 8 ,     C = 5 8

Passo 4

Substituindo na integral original, teremos:

1 2 ∫ - 3 4 x + 1 8 x + 2 + 5 8 x - 2 d x

Dividindo em diferentes integrais:

1 2 ∫ - 3 4 x d x + ∫ 1 8 x + 2 d x + ∫ 5 8 x - 2 d x

Retirando as constantes, teremos:

1 2 - 3 4 ∫ 1 x d x + 1 8 ∫ 1 x + 2 d x + 5 8 ∫ 1 x - 2 d x  

Integrando, teremos:

1 2 × - 3 4 ln ⁡ x + 1 2 × 1 8 ln ⁡ x + 2 + 1 2 × 5 8 l n ⁡ ( x - 2 ) + C

- 3 8 ln ⁡ x + 1 16 ln ⁡ x + 2 + 5 16 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

- 3 8 ln ⁡ x + 1 16 ln ⁡ x + 2 + 5 16 ln ⁡ x - 2 + C

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