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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 14

Avalie a integral.

int_0^((pi)/(2)) si n^2 x cos^2 x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral! Podemos aplicar sin 2 x = 2 sin x cos x , da seguinte forma:

int_0^((pi)/(2)) (1)/(4) ( 4 si n^2 x cos^2 x ) d x

int_0^((pi)/(2)) (1)/(4) (2 si n x cos x)^2 d x

(1)/(4) int_0^((pi)/(2)) sin^2 2 x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando a integral, fica assim:

(1)/(4) int_0^((pi)/(2)) sin^2 2 x d x = (1)/(4) int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) (1 - cos 4 x) d x

int_0^((pi)/(2)) si n^2 x cos^2 x d x = (1)/(8) [x - (1)/(4) sin 4 x]_0^((pi)/(4)) = (1)/(8) ((pi)/(2)) = (pi)/(16)

int_0^((pi)/(2)) si n^2 x cos^2 x d x = (pi)/(16)

Finishh!! :)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) si n^2 x cos^2 x d x = (pi)/(16)

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Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira. ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0
Calcule a integral definida:int_0^((pi)/(2)) sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x
Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira. ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0 s e m ≠ n 1 s e m = n