Questão 31) Calcule a integral definida:

∫ 0 π / 8 s e n 3 x . c o s 5 x   d x

Passo 1

Usando a identidade s e n A . c o s B = 1 / 2 [   s e n A - B + s e n A + B ] , aplicando essa identidade no integrando, temos

s e n 3 x . c o s 5 x = 1 2   s e n - 2 x + s e n   8 x

Substituindo no integrando

Passo 2

                                                          ∫ s e n 3 x . c o s 5 x d x = ∫ 1 2   s e n - 2 x + s e n   8 x     d x

= 1 2 ∫   s e n - 2 x d x +   ∫ s e n   8 x d x  

Como a função s e n ( x )   é uma função ímpar , temos que s e n - x =   - s e n ( x )

= 1 2 ∫ - s e n 2 x d x + 1 2 ∫ s e n   8 x d x  

=   c o s 2 x 4 +     - 1 16 c o s 8 x  

Passo 3

Aplicando os intervalos

∫ 0 π / 8 s e n 3 x . c o s 5 x   d x =     c o s 2 x 4 +     - 1 16 c o s 8 x   0 π / 8

∫ 0 π / 8 s e n 3 x . c o s 5 x   d x =     1/8 ( 2   - 1 )

Resposta

∫ 0 π / 8 s e n 3 x . c o s 5 x   d x =     1/8 ( 2   - 1 )

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