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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 31

Questão 31) Calcule a integral definida:

int_0^(pi // 8) s e n 3 x . c o s 5 x d x

Passo 1

Usando a identidade s e n A . c o s B = 1 // 2 [ s e n (A - B) + s e n (A + B) ] , aplicando essa identidade no integrando, temos

s e n 3 x . c o s 5 x = (1)/(2) [s e n (- 2 x) + s e n (8 x)]

Substituindo no integrando

Passo 2

int s e n 3 x . c o s 5 x d x = int (1)/(2) [s e n (- 2 x) + s e n (8 x)] d x

= (1)/(2) int s e n (- 2 x) d x + int s e n (8 x) d x

Como a função s e n ( x ) é uma função ímpar , temos que s e n (- x) = - s e n ( x )

= (1)/(2) int - s e n (2 x) d x + (1)/(2) int s e n (8 x) d x

= (c o s 2 x)/(4) + - (1)/(16) c o s 8 x

Passo 3

Aplicando os intervalos

int_0^(pi // 8) s e n 3 x . c o s 5 x d x = (c o s 2 x)/(4) + - (1)/(16) c o s 8 x_0^(pi // 8)

int_0^(pi // 8) s e n 3 x . c o s 5 x d x = 1/8 ( sqrt(2) - 1 )

Resposta

int_0^(pi // 8) s e n 3 x . c o s 5 x d x = 1/8 ( sqrt(2) - 1 )

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