Avalie a integral.

∫ cos 5 ⁡ x sin 4 ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar o cosseno em uma base par e aplicarmos sin 2 ⁡ x + cos 2   ⁡ x = 1 , da seguinte forma:

∫ 1 - sin 2 ⁡ x 2 sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição:

u = sin ⁡ x                         d u = cos ⁡ x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

∫ 1 - u 2 2 u 4 d u

Resolvendo primeiro o produto notável e multiplicando cada termo da integral, fica assim:

∫ ( 1 - 2 u 2 + u 4 ) u 4 d u = ∫ ( u 4 - 2 u 6 + u 8 ) d u

Agora é só integrar normalmente!!

∫ u 4 - 2 u 6 + u 8 d u = u 5 5 - 2 u 7 7 + u 9 9 + C

Substituindo o nosso valor de u :

∫ cos 5 ⁡ x sin 4 ⁡ x d x = s i n 5 x 5 - 2 s i n 7 x 7 + s i n 9 x 9 + C

Finishh!! :)

Resposta

∫ cos 5 ⁡ x sin 4 ⁡ x d x = s i n 5 x 5 - 2 s i n 7 x 7 + s i n 9 x 9 + C

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