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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 32

Calcule a integral definida:

int_0^((pi)/(2)) sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? Vamos começar usando a seguinte relação:

2 sen theta cos theta = sen 2 theta

sen theta cos theta = (sen 2 theta)/(2)

Elevando dos dois lados ao quadrado:

sen^2 theta cos^2 theta = ((sen 2 theta)/(2))^2 -> theta = (x)/(2) -> sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) = ((sen (2 x)/(2))/(2))^2

Daí,

int sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x = (1)/(4) int sen^2 ( x ) d x

Agora precisamos resolver essa integral.

Passo 2

Vamos utilizar a relação:

sen^2 ( x ) = (1 - cos 2 x)/(2)

Ficaremos então com:

int sen^2 ( x ) d x = int (1 - cos 2 x)/(2) d x = (1)/(2) int (1 - cos 2 x) d x = (1)/(2) (x - (sen (2 x))/(2)) + C

Usamos a integral int cos a x d x = (sen a x)/(a) a != 0 .

Passo 3

Vamos substituir o resultado anterior na integral inicial.

int sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x = (1)/(4) int sen^2 ( x ) d x = (1)/(4) * (1)/(2) (x - (sen (2 x))/(2)) + C

Passo 4

Agora resolveremos a integral definida. Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^((pi)/(2)) sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x = [(1)/(8) (x - (sen (2 x))/(2))]_0^((pi)/(2)) = (1)/(8) ((pi)/(2) - (sen ((2 pi)/(2)))/(2)) - (1)/(8) (0 - (sen (0))/(2))

= (1)/(8) ((pi)/(2) - (sen (pi))/(2)) - (1)/(8) (0 - (sen (0))/(2)) = (1)/(8) ((pi)/(2) - 0) - (1)/(8) (0 - 0) = (pi)/(16)

Lembre-se que sen pi = 0 e sen 0 = 0 .

Resposta

int_0^((pi)/(2)) sen^2 ((x)/(2)) cos^2 ((x)/(2)) d x = (pi)/(16)

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