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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 87

Calcule a integral

int (t d t)/(sqrt(9 - 4 t^2))

Passo 1

Para resolver esse problema e calcular a integral que é o desejado pela questão, precisaremos fazer uma substituição simples e então utilizarmos a regra de integração para polinômios que nos diz seguinte

int t^n d t = ((1)/(n + 1)) * t^(n + 1) + C ( i )

Passo 2

Pra começar, façamos a seguinte substituição

9 - 4 t^2 = u -> (d u)/(d t) = - 8 t

t d t = - (d u)/(8)

Ficaremos, então, com a seguinte integral

- (1)/(8) * int (d u)/(sqrt(u)) =

Podemos reescrever nossa integral de tal forma que possamos a regra ( i ) , façamos o seguinte

- (1)/(8) * int (d u)/(u^((1)/(2))) =

- (1)/(8) * int u^(- (1)/(2)) d u =

- (1)/(8) * [(u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)] + C =

- (1)/(8) * [(u^((1)/(2)))/((1)/(2))] + C =

- (1)/(8) * [2 * u^((1)/(2))] + C =

- (1)/(4) * u^((1)/(2)) + C =

Mas devemos lembrar que 9 - 4 t^2 = u , então, retornando a variável t teremos

- (1)/(4) * sqrt(9 - t^2) + C

Resposta

- (1)/(4) * sqrt(9 - t^2) + C

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