Calcule a integral

∫ s e n 5 t   d t 1 + cos ⁡ 5 t 2  

Passo 1

Da maneira como está escrita a integral parece ser bastante complicada, porém, podemos fazer uma substituição simples de tal forma que chegaremos em uma integral imediata. Dessa forma, façamos o seguinte

u = cos ⁡ 5 t → d u d t = - 5 s e n 5 t → - d u 5 = s e n 5 t d t

reescrevendo a nossa integral vamos obter

- 1 5 ⋅ ∫ d u 1 + u 2

Passo 2

Após fazer a substituição chegamos numa integral que é imediata , pois vem de uma das regras de derivada mais comuns e, assim, olhando para a função presente na integral e pensando em qual função que derivada chegamos nela , para nosso caso, é a função arctan ⁡ u , assim

- 1 5 ⋅ ∫ d u 1 + u 2 =   - 1 5 ⋅ arctan ⁡ u + C

Agora, barata retornarmos à variável t inicial e o problema está finalizado, então, finalmente

→   - 1 5 ⋅ arctan ⁡ u + C =   - 1 5 ⋅ arctan ⁡ c o s ⁡ ( 5 t ) + C

Resposta

- 1 5 ⋅ arctan ⁡ c o s ⁡ ( 5 t ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados