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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 95

Calcule a integral

int (s e n (5 t) d t)/(1 + (cos (5 t))^2)

Passo 1

Da maneira como está escrita a integral parece ser bastante complicada, porém, podemos fazer uma substituição simples de tal forma que chegaremos em uma integral imediata. Dessa forma, façamos o seguinte

u = cos (5 t) -> (d u)/(d t) = - 5 s e n (5 t) -> - (d u)/(5) = s e n (5 t) d t

reescrevendo a nossa integral vamos obter

- (1)/(5) * int (d u)/(1 + u^2)

Passo 2

Após fazer a substituição chegamos numa integral que é imediata , pois vem de uma das regras de derivada mais comuns e, assim, olhando para a função presente na integral e pensando em qual função que derivada chegamos nela , para nosso caso, é a função arctan (u) , assim

- (1)/(5) * int (d u)/(1 + u^2) = - (1)/(5) * arctan u + C

Agora, barata retornarmos à variável t inicial e o problema está finalizado, então, finalmente

-> - (1)/(5) * arctan (u) + C = - (1)/(5) * arctan (c o s ( 5 t )) + C

Resposta

- (1)/(5) * arctan (c o s ( 5 t )) + C

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