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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 96

Calcule a integral

int (d v)/(sqrt( e^(2 v) - 1))

Passo 1

Para calcular a integral acima façamos, primeiramente, a seguinte substituição

u = - 2 x -> (d u)/(d x) = - 2 -> d x = - (d u)/(2)

Então, nossa integral pode ser reescrita como sendo

- (1)/(2) * int (d u)/(sqrt(e^(- u) - 1))

Passo 2

Agora, nosso problema gira em torno de resolver a integral int (d u)/(sqrt(e^(- u) - 1)) e para resolvê-la vamos usar mais uma substituição simples. Fazendo x = e^(- u) - 1 -> (d x)/(d u) = - e^(- u) -> d u = - e^u d x , então, nossa integral fica escrita como sendo

(1)/(2) * int (d x)/(sqrt(x) * ( x + 1 ))

Se tomarmos, por fim, uma última substituição poderemos resolver a integral de maneira mais simples

y = sqrt(x) -> (d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x)) -> d y = (d x)/(2 sqrt(x))

int (d y)/(y^2 + 1) = arctan ( y ) + C

Retornando a variável v de origem, vamos obter

arctan (y) + C = arctan (sqrt(x)) + C =

arctan (sqrt(e^(- u) - 1)) + C = arctan (sqrt(e^(2 v) - 1)) + C

Resposta

arctan (sqrt(e^(2 v) - 1)) + C

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