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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3c

3.Calcule.

int cos^3 x sin^3 x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin x de u :

sin x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: sin x = u

cos x d x = d u

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

int cos^3 x sin^3 x d x = int sin^3 x cos^2 x cos x d x

Lembrando que cos^2 x = 1 - sin^2 x

int cos^3 x sin^3 x d x = int sin^3 x (1 - sin^2 x) cos x d x

Repare que agora a esqueção na integral está tudo em função de seno, o que facilita muito na hora de substituir por u , por isso tenha sempre atenção com equações trigonométricas!!

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int cos^3 x sin^3 x d x = int u^3 (1 - u^2) d u

int cos^3 x sin^3 x d x = int (u^3 - u^5) d u

Assim chegamos em uma integral de polinômios e resolvendo-a teremos:

int cos^3 x sin^3 x d x = (u^4)/(4) - (u^6)/(6) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

int cos^3 x sin^3 x d x = (sin^4 x)/(4) - (sin^6 x)/(6) + C

Resposta

int cos^3 x sin^3 x d x = (sin^4 x)/(4) - (sin^6 x)/(6) + C

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