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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3a

1.Calcule.

A) int s i n^2 x cos x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção, não subestime a força de uma integral hein e lembre-se precisamos escrever todos os termos da integral em função de uma nova variável u , sem mais delongas, vamos lá!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin x de u :

sin x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sin x ) ' = ( u ) '

c o s x d x = d u

Passo 2

Será que chegamos ao nosso primeiro objetivo que é escrever todos os termos como função de u . Spoiler: Não, mas veremos o porquê. Anotaremos abaixo para poder ver melhor:

sin x = u

Opaaaa! Olha a integral! Temos sin^2 x e não sin x , como faremos? Vem comigo:

Elevando ao quadrado:

sin^2 x = u^2

c o s x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, mas a guerra não acabou hein! Substituiremos:

int s i n^2 x cos x d x = int u^2 d u

Passo 3

A Integral acima é imediata, lembra da integral de funções polinomiais? Não, então uma colher de chá para você:

int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c

E para a integral da questão n = 2

int s i n^2 x cos x d x = int u^2 d u = (u^3)/(3) + c

Substituiremos para voltar a variável inicial, lembre-se que queremos a resposta em função de x e não u , Retornando ( sin x = u ) , obtemos a resposta:

int s i n^2 x cos x d x = (sin^3 x)/(3) + c

Resposta

int s i n x^2 cos x d x = (sin^3 x)/(3) + c

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