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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Avalie a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ x 3 x 4 - 5 d x ,         u = x 4 - 5

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ x 3 x 4 - 5 d x

Para isso, o enunciado quer que a gente faça por meio da seguinte substituição:

u = x 4 - 5

Ou seja, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral.

Para isso, precisamos também achar diferencial de u , derivando:

d u = 4 x 3   d x ∴

d u 4 = x 3   d x

Substituindo na nossa integral:

∫ x 3 x 4 - 5 d x = ∫ 1 4 u d u

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ 1 4 u d u = 1 4 ∫ 1 u d u = 1 4 ln ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 3 x 4 - 5 d x = 1 4 ln ⁡ u + C ∴

∫ x 3 x 4 - 5 d x = 1 4 ln ⁡ x 4 - 5 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ x 3 x 4 - 5 d x = 1 4 ln ⁡ x 4 - 5 + C

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Calcule ∫ x - 1 2 x d x por dois métodos: (a) expandindo x - 1 2 e multiplicando o resultado por x - 1 / 2 .
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Calcule ∫ x ( x 2 + 2 ) ² d x ² por dois métodos: (c) Explique a diferença entre as respostas (a) e (b)