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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 35

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(theta^2) cos ((1)/(theta)) sen ((1)/(theta)) d theta

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de cos theta com (1)/(theta) , então vamos fazer

u = (1)/(theta)

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d theta no final:

u = (1)/(theta) -> d u = ((1)/(theta))^' d theta = (- (1)/(theta^2)) d theta

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(theta^2) cos ((1)/(theta)) sen ((1)/(theta)) d theta

Temos então que

int (1)/(theta^2) cos (u) sen ( u ) d theta

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- (1)/(theta^2)) d theta -> (- 1) d u = (- 1) (- (1)/(theta^2)) d theta -> - d u = (1)/(theta^2) d theta

Agora podemos substituir na integral :D

int (1)/(theta^2) cos (u) sen ( u ) d theta = int cos (u) sen (u) ( - d u ) = - int sen ( u ) cos ( u ) d u

Passo 4

A integral acima ainda não está na tabela de primitivas. Então precisamos manipular o integrando um pouco mais. Aqui vamos usar a expressão trigonométrica

sen ( 2 u ) = 2 sen u cos u -> (sen (2 u))/(2) = cos ( u ) sen ( u )

Logo,

- int sen (u) cos (u) d u = - int (sen (2 u))/(2) d u = - (1)/(2) int sen ( 2 u ) d u

Passo 5

Ainda não temos essa integral na tabela! Mas estou vendo a composta de sen u com 2 u . Logo,

s = 2 u -> d s = 2 d u -> (d s)/(2) = d u

- (1)/(2) int sen (2 u) d u = - (1)/(2) int sen (s) ((d s)/(2)) = - (1)/(4) int sen ( s ) d s

UFA! Agora temos a integral na tabela

- (1)/(4) int sen (s) d s = (- (1)/(4)) (- cos s) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(theta^2) cos ((1)/(theta)) sen ((1)/(theta)) d theta = (- (1)/(4)) (- cos (1)/(theta)) + C

Resposta

(1)/(4) cos ((1)/(theta)) + C

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