Enunciado

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

16 .   ∫ d x e x     - 1  

Passo 1

Vamos facilitar a resolução dessa integral, para isso vamos fazer aqui uma substituição simples onde:

u = e x

Então:

d u = e x d x ⇒ d u e x = d x

Assim a nossa integral fica na forma:

∫ 1 u - 1 ⋅ d u u

Ainda está complicada, né?

Passo 2

Vamos fazer aqui uma substituição simples mais uma vez:

v = u - 1 , ou seja, u = v + 1

Então:

d v = 1 ⋅ d u ⇒   d v = d u

Assim a nossa integral fica na forma:

∫ 1 v ⋅ d v ( v + 1 )

Só que ainda não está fácil.

Passo 3

Vamos fazer aqui uma substituição simples pela última vez:

t = v , ou seja, t ² = v

Então:

d t = 1 2 v d v ⇒   2   d t = 1 v d v

Assim a nossa integral fica na forma:

∫ 1 ( t ² + 1 ) ⋅ 2 d t

Passo 4

Resolvendo a integral:

∫ 1 ( t ² + 1 ) ⋅ 2 d t = 2 ∫ 1 ( t ² + 1 ) d t

Sabemos de forma tabelada que:

( a r c t g   x ) ' = 1 x 2 + 1

Então:

2 ∫ 1 ( t ² + 1 ) d t = 2 a r c t g   t + c

Passo 5

Chegamos a um resultado, mas esse não é o resultado final devido as nossas substituições.

Então vamos pegar todas as substituições que fizemos e revertê-las:

t = v

2 a r c t g   t + c =   2 a r c t g   v + c

v = u - 1

2 a r c t g   v + c =   2 a r c t g   ( u - 1 ) + c

u = e x

2 a r c t g   u - 1 + c =   2 a r c t g   ( e x - 1 ) + c

Agora sim, voltamos para nossa variável original então esse é nosso resultado final.

Resposta

∫ d x e x     - 1 =   2 a r c t g   ( e x - 1 ) + c

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