Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ sec ⁡ z tg ⁡ z sec ⁡ z d z

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de z com sec ⁡ z , então vamos fazer

u = sec ⁡ z

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d z no final:

u = sec ⁡ z → d u = sec ⁡ z ' d z = sec ⁡ z tan ⁡ z d z

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sec ⁡ z tg ⁡ z sec ⁡ z d z

Temos então que o termo no denominador é a própria raiz de u

∫ sec ⁡ z tg ⁡ z u d z

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então basta substituir na integral :D

∫ sec ⁡ z tg ⁡ z u d z = ∫ d u u = ∫ u - 1 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

∫ u - 1 2 d u = 2 u 1 2 + C = 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sec ⁡ z tg ⁡ z sec ⁡ z d z = 2 sec ⁡ z + C

Resposta

2 sec ⁡ z + C

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