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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 32

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (sec z tg z)/(sqrt(sec z)) d z

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sqrt(z) com sec z , então vamos fazer

u = sec z

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d z no final:

u = (sec z) -> d u = (sec z)^' d z = (sec z tan z) d z

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (sec z tg z)/(sqrt(sec z)) d z

Temos então que o termo no denominador é a própria raiz de u

int (sec z tg z)/(sqrt(u)) d z

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então basta substituir na integral :D

int (sec z tg z)/(sqrt(u)) d z = int (d u)/(sqrt(u)) = int u^(- (1)/(2)) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

int u^(- (1)/(2)) d u = (2 u^((1)/(2))) + C = 2 sqrt(u) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (sec z tg z)/(sqrt(sec z)) d z = 2 sqrt(sec z) + C

Resposta

2 sqrt(sec z) + C

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