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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 6

Calcule a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ 2 t + 1 d t ,         u = 2 t + 1

Passo 1

Oie, tudo beleza 😎?

Nessa questão, precisamos calcular a integral indefinida

∫ 2 t + 1 d t ,

usando a substituição u = 2 t + 1 , certo?

Mas isso já diz pra gente que temos que usar a Regra da Substituição, né? Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz!

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g t como uma variável u , ou seja, u = g ( t ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g t g ' t   d t =   ∫ f u d u ,  

desde que a imagem de g ( t ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos assumir

u = g t =   2 t + 1 ,

conforme pede o enunciado, e escolher a função f de maneira conveniente, transformando a integral dada no enunciado em uma integral beeeeem mais fácil de calcular.

💡 Vamos relembrar de algumas propriedades das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f t d t = c   ∫ f t d t .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função t n é a função

∫ t n d t = t n + 1 n + 1 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, já temos tudo o que precisamos. Agora, bora resolver essa questão 🤓!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral

∫ 2 t + 1 d t ,

podemos ver que, se

f t = t

e

u = g t =   2 t + 1 ,

então

f g t = 2 t + 1 .

Além disso, derivando u em relação à variável t , temos que

d u d t = g ' t = 2 ,

ou seja

d u = 2   d t .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g t g ' t   d t =   ∫ 2 t + 1   2   d t =   2 ∫ 2 t + 1   d t ,

ou seja,

1 2 ∫ f g t g ' t   d t =   ∫ 2 t + 1   d t .

Dessa forma, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ 2 t + 1   d t = 1 2 ∫ f u d u ,

onde

1 2 ∫ f u   d u = 1 2 ∫ u   d u .

Lembrando que u = u 1 2 , então observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né?

Pela Regra da Potência, temos que

∫ u   d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 1 = 2 3 u 3 2 + C 1 .

Logo,

∫ 2 t + 1   d t = 1 2 ∫ u   d u = 1 2 ⋅ 2 3 u 3 2 + C 1

ou seja, temos que

∫ 2 t + 1   d t =   1 3 u 3 2 + C 2 ,

onde C 2 = 1 2 C 1 é uma constante qualquer.

Passo 3

Cuidado, ainda não terminamos! A igualdade

∫ 2 t + 1   d t =   1 3 u 3 2 + C 2

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g t =   2 t + 1 .  

Fazendo isso, vamos ter que

∫ 2 t + 1   d t =   1 3 u 3 2 + C 2 =   ( 2 t + 1 ) 3 2 3 + C 2 ,

ou seja, a integral do enunciado é dada por ∫ 2 t + 1   d t =   ( 2 t + 1 ) 3 2 3 + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ 2 t + 1   d t =   ( 2 t + 1 ) 3 2 3 + C 2 .

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