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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 4

Avalie a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ ,         u = sen ⁡ θ

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = sen ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ θ d θ

Vamos agora fazer a substituição:

∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Agora é só aplicar:

∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 + C = u 3 3 + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável θ , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = u 3 3 + C = sen 3 ⁡ θ 3 + C

Resposta

∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = sen 3 ⁡ θ 3 + C

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