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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 42

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

42 .   ∫ t - 1 t + 1 d t  

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição simples, onde:

u = t ⇒ d u =   1 2 t   d t  

Nossa integral fica então:

∫ u - 1 u + 1 2 u d u = 2 ∫ u 2 - u u + 1 d u

Mas ainda não está fácil, por isso vamos abrir u 2 - u u + 1 e podemos afirmar que...

u 2 - u u + 1 = u + 2 u + 1 - 2

Não é tão simples essa abertura, mas pode ser comprovada de fizemos pelo caminho inverso, ou seja, resolvendo u + 2 u + 1 - 2 .

Agora que transformamos a nossa função em algo mais fácil de ser resolvida, vamos integrar.

Passo 2

Integrando:

2 ∫ u + 2 u + 1 - 2 d u = 2 ∫ u   d u + 4 ∫ 1 u + 1 d u - 4 ∫ d u      

                                                                                    = u 2 + 4 ln ⁡ u + 1 - 4 u + c

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial:

u = t

u 2 + 4 ln ⁡ u + 1 - 4 u + c = t + 4 ln ⁡ t + 1 - 4 t + c

Resposta

∫ t - 1 t + 1 d t = t + 4 ln ⁡ t + 1 - 4 t + c  

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7 - 44 . Calcule a integral indefinida. 7 .∫ 2 x ⋅ x 2 + 3 4 d x