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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 49

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

49 . ∫ 1 s e n   x - 2 c o s s e c   x d x

Passo 1

Para começar a resolver vamos lembrar que:

c o s s e c   x = 1 s e n   x

Logo, temos que:

1 s e n   x - 2 c o s s e c   x = 1 s e n   x - 2 1 s e n   x

= 1 s e n   x - 2 s e n   x

= 1 s e n 2 x - 2 s e n   x = s e n   x s e n 2 x - 2

Passo 2

Com o que obtivemos nossa integral fica:

∫ 1 s e n   x - 2 c o s s e c   x d x = ∫ s e n   x s e n 2 x - 2 d x

= ∫ s e n   x s e n 2 x - 2 d x

Lembrando que:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Assim nossa integral toma a forma:

∫ s e n   x 1 - cos 2 ⁡ x - 2 d x = ∫ s e n   x - cos 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ s e n   x - ( cos 2 ⁡ x + 1 ) d x

Passo 3

Para continuarmos precisamos realizar uma substituição da forma:

u = cos ⁡ x

d u = - s e n   x   d x ⇒ - d u = s e n   x   d x

Nossa integral fica:

∫ s e n   x - ( cos 2 ⁡ x + 1 ) d x = ∫ - d u - ( u 2 + 1 ) = ∫ d u u 2 + 1

Passo 4

Agora vamos lembrar de um detalhe crucial para resolução dessa integral.

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x + c

Então temos que:

∫ d u u 2 + 1 = a r c t g   u

Passo 5

Agora para completar o exercício precisamos voltar a variável original.

u = cos ⁡ x

a r c t g   u = a r c t g ( cos ⁡ x )

Resposta

∫ 1 s e n   x - 2 c o s s e c   x d x = a r c t g cos ⁡ x + c

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