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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 26

Nos Exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

26 .   ∫ y   d y 9 + 16 y 4

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma substituição simples para darmos início:

v = y 2

Então:

d v = 2 y   d y ⇒ d v 2 = y d y

Passo 2

Nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ y   d y 9 + 16 y 4 = ∫ 1 2 ⋅ d v 9 + 16 v 2

                                              = 1 2 ∫ d v 9 + 16 v 2  

Fatorando 9 no denominador temos:

                                              = 1 2 ∫ d v 9 ( 1 + 16 v 2 9 )  

                                              = 1 18 ∫ d v ( 1 + 16 v 2 9 )  

Passo 3

Vamos fazer outra substituição simples para facilitar mais nossa vida:

s = 4 v 3

Então:

d s = 4 3   d y ⇒ 3   d s 4 = d v

Passo 4

Nossa integral fica da seguinte maneira:

1 18 ∫ d v ( 1 + 16 v 2 9 )   = 1 18 ∫ 3 4 ⋅ d s 1 + s 2

= 1 24 ∫ d s 1 + s 2

Passo 5

Para resolvermos essa integral precisamos lembrar que:

∫ d x x 2 + 1 = a r c t g ( x ) + c  

Que é uma das integrais que sempre devemos ter guardada em nossa enciclopédia de integrais.

Passo 6

Assim ficamos com:

1 24 ∫ d s 1 + s 2 = 1 24 a r c t g s + c

Passo 7

Chegamos a um resultado, mas esse não é o resultado final devido as substituições. Então vamos pegar todas as substituições que fizemos e revertê-las:

s = 4 v 3

1 24 a r c t g s + c = 1 24 a r c t g 4 v 3 + c

v = y 2

1 24 a r c t g 4 v 3 + c = 1 24 a r c t g 4 y 2 3 + c

Resposta

∫ y   d y 9 + 16 y 4 = 1 24 a r c t g 4 y 2 3 + c

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