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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 7

Calcule a integral indefinida.

∫ x 1 - x 2 d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x 1 - x 2 d x

E a técnica da substituição parece ser uma boa opção...

Sabemos disso, pois se fizermos

u = 1 - x 2

a sua derivada será

u ' = - 2 x

que possui x que aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável u .

Além disso, após a substituição teremos dentro da raíz apenas um termo e isso irá facilitar a integração!

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de x .

d u = u ' d x

E portanto teremos que:

d x = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de x da integral.

Por fim, basta resolver a integral e desfazer a substituição.

Passo 2

Nossa integral é:

∫ x 1 - x 2 d x

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 - x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = u ' d x

d u = 0 - 2 x   d x

d u = - 2 x d x

Portanto, temos que:

- d u 2 = x d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ - u 2 d u

E vamos transformar em potência para facilitar a integração.

= ∫ - u 1 2 2   d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar!

∫ - u 1 2 2   d u = - 1 2 ∫ u 1 2   d u

∫ - u 1 2 2   d u = - 1 2 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

∫ - u 1 2 2   d u = - 1 2 ⋅ u 3 2 3 2 + C

∫ - u 1 2 2   d u = - 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 + C

∫ - u 1 2 2   d u = - u 3 2 3 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 1 - x 2 d x = - u 3 2 3 + C ∴

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 3 2 3 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 3 2 3 + C

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