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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 8

Calcule a integral.

int x^2 s e n (a x) d x

Passo 1

Vamos fazer por partes

u = x^2 -> d u = 2 x d x

E

d v = s e n (a x) d x -> v = - (1)/(a) c o s ( a x )

Assim

int u d v = u v - int v d u

int x^2 s e n (a x) d x = x^2 (- (1)/(a) cos (a x)) - int (- (1)/(a) cos (a x)) 2 x d x

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2)/(a) int x c o s (a x) d x

Passo 2

Agora sobrou uma outra integral que temos que fazer por partes de novo, que é essa aqui

int x c o s (a x) d x

Então as substituições são

p = x -> d p = d x

d q = cos (a x) d x -> q = (1)/(a) s e n (a x)

A integral vai ficar

int x c o s (a x) d x = x ((1)/(a) s e n (a x)) - int (1)/(a) s e n (a x) d x

E a última integral dá pra fazer 😉

int x c o s (a x) d x = x ((1)/(a) s e n (a x)) - (1)/(a) (- (1)/(a) cos (a x))

int x c o s (a x) d x = (x)/(a) s e n (a x) + (1)/(a^2) cos (a x)

Passo 3

Juntando tudo ficamos com

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2)/(a) int x c o s (a x) d x

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2)/(a) ((x)/(a) s e n (a x) + (1)/(a^2) cos (a x))

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2 x)/(a^2) s e n (a x) + (2)/(a^3) cos (a x)

Não pode esquecer a constante de integral, hein!

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2 x)/(a^2) s e n (a x) + (2)/(a^3) cos (a x) + C

Belezinha? 😉

Resposta

int x^2 s e n (a x) d x = - (x^2)/(a) cos (a x) + (2 x)/(a^2) s e n (a x) + (2)/(a^3) cos (a x) + C

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Calcule a integral usando integração por partes int l n ( x + 1 ) d x
Calcule a integral usando integração por partes int x^2 s e n ( 1 - x ) d x
Seja n um natural diferente de zero. Verifiqueb) int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2^(2 n) (n !)^2)/((2 n + 1) !)
Verifique que, para todo natural n = 1 tem-se: int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x
Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifiqueb) ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = n ! m ! m + n + 1 !