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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 9

Calcule a integral:

int ln ( 2 x + 1 ) d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

int ln ( 2 x + 1 ) * 1 d x = int ln ( 2 x + 1 ) * x^0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,,?],[u,=,ln ( 2 x + 1 ),d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,int 1 d x =,x,+,C],[u,=,ln ( 2 x + 1 ),d,u,=,(2)/(2 x + 1),d,x,=,(1)/(x + (1)/(2)),d,x]]

Devemos lembrar que (ln h)^' = (h ')/(h) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace ln ( 2 x + 1 )) underset(d v)(ubrace 1 d x) = underset(u)(ubrace ln ( 2 x + 1 )) underset(v)(ubrace (x)) - int underset(v)(ubrace x) underset(d u)(ubrace (1)/(x + (1)/(2)) d x)

int ln (2 x + 1) d x = x ln ( 2 x + 1 ) - int (x)/(x + (1)/(2)) d x

Passo 4

Vamos resolver a integral:

int (x)/(x + (1)/(2)) d x = int (x + (1)/(2) - (1)/(2))/(x + (1)/(2)) d x = int (x + (1)/(2))/(x + (1)/(2)) d x - int ((1)/(2))/(x + (1)/(2)) d x

= int 1 d x - (1)/(2) int (d x)/(x + (1)/(2)) = x - (1)/(2) ln |x + (1)/(2)| + C

Aqui foi usada a integral int (d x)/(x +- a) = ln |x +- a| + C .

Passo 5

Agora substituímos o resultado achado.

int ln (2 x + 1) d x = x ln ( 2 x + 1 ) - int (x)/(x + (1)/(2)) d x = x ln (2 x + 1) - (x - (1)/(2) ln |x + (1)/(2)|) + C

int ln (2 x + 1) d x = x ln (2 x + 1) - x + (1)/(2) ln |x + (1)/(2)| + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int ln (2 x + 1) d x = x ln (2 x + 1) - x + (1)/(2) ln |x + (1)/(2)| + C

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