Avalie a integral.

∫ x 2 sin ⁡ π x d x

Passo 1

Esse problema tem duas partes! É preciso calma e paciência pra resolvê-lo. Vamos lá!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x 2                               ;                 d u = 2 x   d x

d v = sin ⁡ π x d x                 ;                       v = - cos ⁡ π x π

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 sin ⁡ π x d x     = - 1 π x 2 cos ⁡ π x - ∫ - ( 1 π ) cos ⁡ π x × 2 x d x

Organizando...

∫ x 2 sin ⁡ π x d x     = - 1 π x 2 cos ⁡ π x + 2 π ∫ x   cos ⁡ π x d x

Nessa segunda integral, precisamos de outra integração por partes, então fazemos:

u = x                               ;                 d u =   d x

d v = cos ⁡ π x d x                 ;                       v = 1 π sin ⁡ π x

Aplicamos na nossa integral:

∫ x   cos ⁡ π x d x = 1 π x   sin ⁡ π x - ∫ 1 π sin ⁡ π x d x

∫ x   cos ⁡ π x d x = 1 π x   sin ⁡ π x - 1 π ∫ sin ⁡ π x d x

Sabendo que ∫ sin ⁡ π x d x = - ( 1 π ) cos ⁡ π x , então

∫ x   cos ⁡ π x d x = 1 π x   sin ⁡ π x + 1 π × 1 π cos ⁡ π x + C

∫ x   cos ⁡ π x d x = 1 π x   sin ⁡ π x + 1 π 2 cos ⁡ π x + C

Substituindo na primeira integral que estávamos resolvendo:

∫ x 2 sin ⁡ π x d x     = - 1 π x 2 cos ⁡ π x + 2 π 1 π x   sin ⁡ π x + 1 π 2 cos ⁡ π x + C

Logo,

∫ x 2 sin ⁡ π x d x     = - 1 π x 2 cos ⁡ π x + 2 π 2 x   sin ⁡ π x + 2 π 3 cos ⁡ π x + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 2 sin ⁡ π x d x     = - 1 π x 2 cos ⁡ π x + 2 π 2 x   sin ⁡ π x + 2 π 3 cos ⁡ π x + C

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