Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 7

Avalie a integral.

int x^2 sin pi x d x

Passo 1

Esse problema tem duas partes! É preciso calma e paciência pra resolvê-lo. Vamos lá!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x^2 ; d u = 2 x d x

d v = sin pi x d x ; v = - (cos pi x)/(pi)

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int x^2 sin pi x d x = - (1)/(pi) x^2 cos pi x - int - ( (1)/(pi) ) cos pi x xx 2 x d x

Organizando...

int x^2 sin pi x d x = - (1)/(pi) x^2 cos pi x + (2)/(pi) int x cos pi x d x

Nessa segunda integral, precisamos de outra integração por partes, então fazemos:

u = x ; d u = d x

d v = cos pi x d x ; v = (1)/(pi) sin pi x

Aplicamos na nossa integral:

int x cos pi x d x = (1)/(pi) x sin pi x - int (1)/(pi) sin pi x d x

int x cos pi x d x = (1)/(pi) x sin pi x - (1)/(pi) int sin pi x d x

Sabendo que int sin pi x d x = - ( (1)/(pi) ) cos pi x , então

int x cos pi x d x = (1)/(pi) x sin pi x + (1)/(pi) xx ((1)/(pi)) cos pi x + C

int x cos pi x d x = (1)/(pi) x sin pi x + (1)/(pi^2) cos pi x + C

Substituindo na primeira integral que estávamos resolvendo:

int x^2 sin pi x d x = - (1)/(pi) x^2 cos pi x + (2)/(pi) [(1)/(pi) x sin pi x + (1)/(pi^2) cos pi x] + C

Logo,

int x^2 sin pi x d x = - (1)/(pi) x^2 cos pi x + (2)/(pi^2) x sin pi x + (2)/(pi^3) cos pi x + C

Prontinho!!

Resposta

int x^2 sin pi x d x = - (1)/(pi) x^2 cos pi x + (2)/(pi^2) x sin pi x + (2)/(pi^3) cos pi x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida:int x e^(3 x) d x
Calcule a integral indefinida:int (ln x)^2 d x
Calcule a integral indefinida:int x sec^2 x d x
Calcule a integral indefinida:int sen x * ln ( cos x ) d x
Calcule a integral indefinida:int x^2 ln x d x