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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 18

Calcule a integral.

int e^(- theta) cos 2 theta d theta

Passo 1

Vamos lá, a questão é bem direta, a gente tem que calcular a integral:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta

Mas não é uma integral simples de se calcular, concorda?! A gente vai ter que usar o método de integral por partes!

int u d v = (u v) - int v d u

Como escolheremos o u e o d v ?

Para u basta usarmos a sequência LIATE:

Temos e^(theta) que é exponencial e cos 2 theta que é trigonométrica. Pela ordem de preferência:

u = cos 2 theta

Logo:

d v = e^(- theta) d theta

Certo?!

NÃAAAOOO!!!!Aqui a gente tem um probleminha!! cos 2 theta não é uma função trigonométrica qualquer, esse “ 2 theta ” complica tudo!! Então temos que fazer:

u = e^(- theta)

E :

d v = cos 2 theta d theta

Agora vamos colocar a mão na massa!!!

Passo 2

Temos u e d v , precisamos agora acha d u e v !

Começando por d u :

(d u)/(d theta) = (d)/(d theta) ( e^(- theta) )

Derivando, temos:

(d u)/(d theta) = - e^(- theta)

Queremos d u , então:

d u = - e^(- theta) d theta

Agora v :

d v = cos 2 theta d theta

Integrando:

int d v = int cos 2 theta d theta

Mas como a gente integra isso?!!

Vamos fazer a = 2 theta , então:

(d a)/(d theta) = 2

E:

d theta = (d a)/(2)

Substituindo na integral:

int d v = int (cos a)/(2) d a

Agora podemos resolver:

v = (1)/(2) sin a

Logo:

v = (1)/(2) sin 2 theta

Passo 3

Agora vamos substituir na integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Só relembrando:

u = e^(- theta)

v = (1)/(2) sin 2 theta

d u = - e^(- theta) d theta

d v = cos 2 theta d theta

Substituindo:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = ( e^(- theta) xx (1)/(2) sin 2 theta ) - int (1)/(2) sin 2 theta xx - e^(- theta) d theta

Arrumando:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (- (1)/(2) int e^(- theta) sin 2 theta d theta)

Passo 4

E AGORA?!! COMO A GENTE SAI DISSO??!!

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (- (1)/(2) int e^(- theta) sin 2 theta d theta)

Vamos fazer integração por partes de novo!!!

Vamos pegar só a integral da parte direita da igualdade e vamos chamar ela de I :

I = int e^(- theta) sin 2 theta d theta

A integração por partes é:

int U d V = U V - int V d U

Agora fazemos:

U = e^(- theta)

d V = sin 2 theta

Precisamos de d U e V :

d U = - e^(- theta) d theta

E:

V = - (1)/(2) cos 2 theta

Substituindo:

I = (e^(- theta) xx - (1)/(2) cos 2 theta) - int - (1)/(2) cos 2 theta ( - e^(- theta) ) d theta

Arrumando:

I = - (1)/(2) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(2) int cos 2 theta e^(- theta) d theta

Passo 5

No final do passo 3 tinhamos chegado em:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (- (1)/(2) I)

E achamos no passo 4 :

I = - (1)/(2) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(2) int cos 2 theta e^(- theta) d theta

Mas apareceu uma nova integral em I , que vamos chamar de I I :

I I = int cos 2 theta e^(- theta) d theta

Dai ficamos com:

I = - (1)/(2) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(2) I I

Substituindo isso na equação lá de cima, do iniciozinho do nosso passo 5 ficamos com:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (- (1)/(2) (- (1)/(2) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(2) I I))

Ta meio difiícil de visualizar, não ta?!! Isso é o que a gente conseguiu até agora! Maaas se a gente olhar de novo pra quem é o I I a gente vai ver que ele é igualzinho a integral do nosso problema inicial!!!

Que é o cara que ta do lado esquerdo da igualdade. Viu???!!

Então vamos substituir ele por I I também:

I I = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (- (1)/(2) (- (1)/(2) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(2) I I))

Arrumando:

I I = (1)/(2) e^(- theta) sin 2 theta - (1)/(4) (e^(- theta) cos 2 theta) - (1)/(4) I I

Jogando o I I pra esquerda e arrumando mais um pouco:

I I = - (1)/(5) e^(- theta) ( cos 2 theta - 2 sin 2 theta )

Então chegamos em:

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = - (1)/(5) e^(- theta) (cos 2 theta - 2 sin 2 theta) + C

Sem esquecer da constante!!!

Resposta

int e^(- theta) cos 2 theta d theta = - (1)/(5) e^(- theta) (cos 2 theta - 2 sin 2 theta) + C

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