Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 26
Avalie a integral.
Passo 1
Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos resolver a integral e depois substituir os limites de integração. Para isso, vamos aplicar a regra da substituição.
Vamos dar uma olhada na nossa integral primeiro
Vamos escolher para substituir essa tangente aí
E por que isso? Por que o diferencial desse é perfeito pro nosso caso! Saca só
E tem secante na nossa integral! \o/
Já que tamo aqui, vamo ver como os limites de integração vão ser alterados, beleza?
Show! Mas você pode ver que não é tããããoo simples assim substituir essas coisas que a gente achou na integral, né? Pra isso temos que fazer umas manipulaçõezinhas.
Vem comigo!
Passo 2
Lá no nosso diferencial tem um . Então já vamos deixar esse pedacinho separado
Essa tangente é direta, né? A gente reescreve
Agora temos que lidar com essa secante. Pra fazer isso vamos usar aquela identidade fundamental da trigonometria, lembra dela?
Pra fazer aparecer uma secante aqui, vamos dividir toda essa equação por . Assim esse do lado esquerdo vira e do lado direito aparece uma secante ao quadrado
Olha só o que a gente conseguiu!! Relacionamos uma secante com uma tangente! :D
Substituindo por
Show! Agora temos todos os ingredientes pra jogar na nossa integral!
Passo 3
A nossa integral fica assim
Agora ficou show de bola, né? Tamo na cara do gol! É só sair fazendo :D
Integrando isso tudo
Finalmente (ufa!) o nosso resultado vai ser
Não vou fazer o MMC por que assim ficou até bonitinho hehehe