Calcule a integral

∫ 0 π cos 4 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui devemos resolver uma integral trigonométrica.

Nessas situações se mostra interessante utilizar de identidades trigonométricas para simplificar a função a ser integrada.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição,

u = 2 t → d u = 2 d t

Substituindo os limites ficamos com

t = π → u = 2 π

t = 0 → u = 0

Então ficamos com

1 2 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ u d u =

Vamos fazer duas coisas aqui, a primeira é

cos 4 ⁡ u = ( cos 2 ⁡ u ) 2

E, lembrar que

cos 2 ⁡ u = 1 2 1 + cos ⁡ 2 u

Então nossa integral fica

1 2 ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u ) 2 d u

Ajeitando isso, ficamos com

1 8 ∫ 0 2 π 1 + 2 cos ⁡ 2 u + cos 2 ⁡ ( 2 u ) d u

Passo 3

Show, mas a gente ainda tem um cos 2 ⁡ ( 2 u ) ali dentro, então vamos usar de novo nossa relação especial que vimos

cos 2 ⁡ 2 u = 1 2 1 + cos ⁡ 4 u

Então ficamos com

1 8 ∫ 0 2 π 1 + 2 cos ⁡ 2 u + 1 2 + c o s ⁡ ( 4 u ) d u

Ajeitando isso ficamos com

1 8 ∫ 0 2 π 3 2 + 2 cos ⁡ 2 u + c o s ⁡ ( 4 u ) d u

Vamos esquecer esse 1 8 por enquanto para facilitar nossas continhas e separar a nossa integral em 3 integrais

∫ 0 2 π 3 2 d u + 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 u d u + ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 u d u

Passo 4

Vamos partir pra cima dessas integrais então!!

∫ 0 2 π 3 2 d u =

= 3 u 2 0 2 π  

∫ 0 2 π 3 2 d u = 3 π

Show, vamos para a segunda

∫ 0 2 π cos ⁡ 2 u d u

Vamos fazer outra substituiçãozinha,

2 u = v →   2 d u = d v

1 2 ∫ cos ⁡ v d v =

= 1 2 s e n ( v )

Voltando para u

= 1 2 s e n ( 2 u ) 0 2 π

= 1 2 0 - 0

∫ 0 2 π cos ⁡ 2 u d u = 0

Agora para nossa ultima integral vamos fazer a mesma coisa que a segunda

∫ 0 2 π cos ⁡ 4 u d u

4 u = v → 4 d u = d v

1 4 ∫ cos ⁡ v d v =

= 1 4 s e n v

= 1 4 s e n ( 4 u ) 0 2 π

= 1 4 ( 0 - 0 )

∫ 0 2 π cos ⁡ 4 u d u = 0

Passo 5

Agora vamos somar todas os resultados que achamos!

3 π + 0 + 0 = 3 π

Maaas ainda não acabamos, não podemos esquecer daquele 1 8 que “deixamos” pra lá no passo 2! Então multiplicando nosso resultado por 1 8 ficamos com

3 π ∙ 1 8

Chegamos ao resultado! Que é

∫ 0 π cos 4 ⁡ ( 2 t ) d t = 3 π 8

Resposta

∫ 0 π cos 4 ⁡ ( 2 t ) d t = 3 π 8

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