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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 9

Calcule a integral

int_0^(pi) cos^4 ( 2 t ) d t

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui devemos resolver uma integral trigonométrica.

Nessas situações se mostra interessante utilizar de identidades trigonométricas para simplificar a função a ser integrada.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição,

u = 2 t -> d u = 2 d t

Substituindo os limites ficamos com

t = pi -> u = 2 pi

t = 0 -> u = 0

Então ficamos com

(1)/(2) int_0^(2 pi) cos^4 (u) d u =

Vamos fazer duas coisas aqui, a primeira é

cos^4 (u) = ( cos^2 (u) )^2

E, lembrar que

cos^2 (u) = (1)/(2) (1 + cos (2 u))

Então nossa integral fica

(1)/(2) int_0^(2 pi) ((1)/(2) ( 1 + cos (2 u) ))^2 d u

Ajeitando isso, ficamos com

(1)/(8) int_0^(2 pi) 1 + 2 cos (2 u) + cos^2 ( 2 u ) d u

Passo 3

Show, mas a gente ainda tem um cos^2 ( 2 u ) ali dentro, então vamos usar de novo nossa relação especial que vimos

cos^2 (2 u) = (1)/(2) (1 + cos (4 u))

Então ficamos com

(1)/(8) int_0^(2 pi) 1 + 2 cos (2 u) + (1)/(2) + c o s ( 4 u ) d u

Ajeitando isso ficamos com

(1)/(8) int_0^(2 pi) (3)/(2) + 2 cos (2 u) + c o s ( 4 u ) d u

Vamos esquecer esse (1)/(8) por enquanto para facilitar nossas continhas e separar a nossa integral em 3 integrais

int_0^(2 pi) (3)/(2) d u + 2 int_0^(2 pi) cos (2 u) d u + int_0^(2 pi) cos (4 u) d u

Passo 4

Vamos partir pra cima dessas integrais então!!

int_0^(2 pi) (3)/(2) d u =

= ((3 u)/(2)|_0^(2 pi)

int_0^(2 pi) (3)/(2) d u = 3 pi

Show, vamos para a segunda

int_0^(2 pi) cos (2 u) d u

Vamos fazer outra substituiçãozinha,

2 u = v -> 2 d u = d v

(1)/(2) int cos (v) d v =

= (1)/(2) s e n ( v )

Voltando para u

= (1)/(2) (s e n ( 2 u )|_0^(2 pi)

= (1)/(2) (0 - 0)

int_0^(2 pi) cos (2 u) d u = 0

Agora para nossa ultima integral vamos fazer a mesma coisa que a segunda

int_0^(2 pi) cos (4 u) d u

4 u = v -> 4 d u = d v

(1)/(4) int cos (v) d v =

= (1)/(4) s e n (v)

= (1)/(4) (s e n ( 4 u )|_0^(2 pi)

= (1)/(4) ( 0 - 0 )

int_0^(2 pi) cos (4 u) d u = 0

Passo 5

Agora vamos somar todas os resultados que achamos!

3 pi + 0 + 0 = 3 pi

Maaas ainda não acabamos, não podemos esquecer daquele (1)/(8) que “deixamos” pra lá no passo 2! Então multiplicando nosso resultado por (1)/(8) ficamos com

3 pi * (1)/(8)

Chegamos ao resultado! Que é

int_0^(pi) cos^4 ( 2 t ) d t = (3 pi)/(8)

Resposta

int_0^(pi) cos^4 ( 2 t ) d t = (3 pi)/(8)

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