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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Calcula a integral

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 ((1)/(3) theta) d theta

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

s e n^2 a = (1)/(2) ( 1 - cos 2 a )

Vamos usar essa identidade...

Então,

s e n^2 ((1)/(3) theta) = (1)/(2) (1 - cos (2)/(3) theta)

Substituindo na integral,

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 ((1)/(3) theta) d theta = int_0^((pi)/(2)) (1 - cos ((2)/(3) theta))/(2) d theta

Passo 2

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

int_0^((pi)/(2)) (1 - cos ((2)/(3) theta))/(2) d theta = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) d theta - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos ((2)/(3) theta) d theta

Encontrando as primitivas,

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) d theta - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos ((2)/(3) theta) d theta = (1)/(2) theta (​|_0^((pi)/(2)) - (3)/(4) s e n ((2)/(3) theta) (​|_0^((pi)/(2))

Aplicando os limites de integração,

(1)/(2) theta (​|_0^((pi)/(2)) - (3)/(4) s e n ((2)/(3) theta) (​|_0^((pi)/(2))

= [(pi)/(4) - 0] - (3)/(4) [(sqrt(3))/(2) - 0] = (2 pi - 3 sqrt(3))/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 ((1)/(3) theta) d theta = (2 pi - 3 sqrt(3))/(8)

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