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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 34

Encontre as funções (a) f @ g , (b) g @ f , (c) f @ f e (d) g @ g e seus domínios.

f (x) = x^3 - 2 , g (x) = 1 - 4 x

Passo 1

Fala aí, pessoal! Tudo certinho? 😁

Bom pessoal, neste exercício é pedido para calcular as funções compostas dadas. Lembrando que f @ g = f [g (x)] . Isto quer dizer que no lugar no x da função f , vamos usar g ( x ) .

Veja só! 😬

Passo 2

Primeiro vamos obter a função f @ g .

Pra isso pegamos a função f (x) = x^3 - 2 e onde tem x , substituímos por g (x) = 1 - 4 x

f @ g = f [g (x)] = (1 - 4 x)^3 - 2

Simplificando...

f @ g = 1 + 3 (- 4 x) + 3 (4 x)^2 + (- 4 x)^3 - 2

f @ g = - 64 x^3 + 48 x^2 - 12 x - 1

O domínio desta função será todos os reais, pois não há nenhum valor de x para qual a função não esteja definida em R .

D = R

Sacou? Vamos continuar! 😁

Passo 3

Agora vamos obter a função g @ f .

Nesse caso pegamos a função g (x) = 1 - 4 x e onde tem x substituímos por f (x) = x^3 - 2

g @ f = g [f (x)] = 1 - 4 (x^3 - 2)

g @ f = - 4 x^3 + 9

Novamente, não temos nenhum valor de x para qual a função não esteja definida em IR.

D = R

Legal, né? 😉

Passo 4

A próxima função que vamos obter é a função f @ f .

A função f composta com f é obtida pegando a função f (x) = x^3 - 2 e onde tem x , substituímos por f (x) = x^3 - 2

f @ f = f [f (x)] = (x^3 - 2)^3 - 2

f @ f = (x^3)^3 + 3 (x^3)^2 (- 2) + 3 (x^3) (- 2)^2 + (- 2)^3 - 2

Simplificando...

f @ f = x^9 - 6 x^6 + 12 x^3 - 10

D = R

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 5

E por último, queremos obter a função g @ g .

Nesse caso fazemos o mesmo que fixemos no passo anterior, porém com g (x) = 1 - 4 x .

g @ g = g [g (x)] = 1 - 4 (1 - 4 x)

g @ g = 16 x - 3

D = R

E aí! O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

a ) f @ g = - 64 x^3 + 48 x^2 - 12 x - 1

D = R

b ) g @ f = - 4 x^3 + 9

D = R

c ) f @ f = x^9 - 6 x^6 + 12 x^3 - 8

D = R

d ) g @ g = 16 x - 3

D = R

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Se f (x) = x + 5 e g (x) = x^2 - 3 , resolva:f (g (0)) g (f (0)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (- 5)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))
Se f (x) = x - 1 e g (x) = 1 // ( x + 1 ) , resolva:f (g (1 // 2)) g (f (1 // 2)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (2)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))
Determine os domínios e as imagens de f , g , f // g , g // f f (x) = 1 g (x) = 1 + sqrt(x)
Se f (x) = x + 5 e g (x) = x^2 - 3 , resolva:f (g (0)) g (f (0)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (- 5)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))
Se f (x) = x + 5 e g (x) = x^2 - 3 , resolva:f (g (0)) g (f (0)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (- 5)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))